Tư duy đại số, một cách cơ giới hóa để xử lý nhanh các bài toán phức tạp

Vì sao có nhiều trẻ khi còn nhỏ rất giỏi toán nhưng lớn lên lại đâm ra ghét toán, không thể hiểu và áp dụng được các công thức mới? Toán ở tiểu học chỉ là các con số, các phép toán cộng trừ nhân chia đơn giản trong môn số học. Lên cao hơn, các bài toán được khái quát thành các công thức, phương trình, ký tự đại diện gọi là đại số. Từ số học đến đại số không chỉ là sự thay đổi về nội dung mà còn là một cách tư duy hoàn toàn khác. Tư duy đại số là gì và có ý nghĩa như thế nào trong cuộc sống?

Mời bạn đọc VnReview theo dõi bài viết sau tổng hợp từ Math4Teaching và các nguồn khác.;

Toán học quan trọng và đa dụng hơn bạn nghĩ

Vì sao toán khó với nhiều học sinh? cách nào làm cho toán dễ hơn?

Những lý giải thú vị về năng khiếu toán học dưới góc nhìn các nhà khoa học

Chương trình toán phổ thông ở Việt Nam và nhiều nước trên thế giới thường bắt đầu bằng số học ở bậc tiểu học và kéo dài đến hết lớp 6, 7. Đại số thường được đưa vào cấp 2, lớp 7 hoặc 8 sau khi học sinh đã nắm vững số học ở các lớp dưới. Do đó, nghĩ tới đại số là chúng ta luôn nghĩ tới toán trung học trong khi nghĩ tới số học-môn học nghiên cứu các con số-lại liên quan tới toán tiểu học. Một trong những giải pháp giúp học sinh hiểu rõ đại số ở trung học là cho các em học đại số sớm hơn. Do đó, chương trình tiểu học ở Mỹ và các nước phương Tây từng được cải tiến lại để bao gồm luôn một số nội dung về đại số mà theo truyền thống chỉ có ở bậc trung học.

Tuy nhiên, tác giả Erlina Ronda của Math4Teaching cho rằng, quan trọng hơn cả việc bổ sung kiến thức là việc chuẩn bị cho học sinh học các nội dung toán cao cấp hơn một cách tốt nhất có thể, ví dụ như tạo ra những hoạt động với các biện pháp thách thức hơn, sâu hơn khi vận dụng nội dung truyền thống của toán tiểu học. Theo Ronda, trẻ nào quen thuộc với tư duy đại số từ sớm và trong những bối cảnh có ý nghĩa sẽ học toán tốt hơn.

Ronda đã đọc một nghiên cứu có tựa A cognitive gap between arithmetic and algebra (Khoảng cách nhận thức giữa số học và đại số). Nghiên cứu này phân biệt đại số và số học dưới góc độ loại phương trình. Theo đó, nếu phương trình chỉ có một ẩn số chưa biết thì đó là một bài tập số học. Còn nếu phương trình có hai ẩn số chưa biết thì đó là bài tập đại số.

Ví dụ:

(1) 15 + ____ = 40 là một bài tập số học

(2) ____ = 4 + _____ là một bài tập đại số

Theo một cách nào đó, sự phân biệt này có ý nghĩa.

Để trả lời phương trình (1), trẻ chỉ cần hỏi: nên đặt số nào vào chỗ trống để ra được 40 khi cộng số đó với 15? Phương trình (2) liên quan tới khái niệm biến (variable). Số giá trị mà bạn có thể đặt vào hai chỗ trống là vô hạn. Phương trình (2) cũng liên quan tới khái niệm hàm số, là mối quan hệ giữa hai số. Hai số trong chỗ trống không đơn giản là bất cứ số nào. Hai số phải chênh nhau 4 đơn vị và số trong chỗ trống đầu tiên luôn là số lớn hơn. Mối quan hệ này là một khái niệm "rất đại số". Tuy vậy, lúc này Ronda vẫn chưa hứng thú lắm với sự phân biệt đại số và số học.

Theo Ronda, một người hứng thú với đại số khi có thể suy nghĩ về các mối quan hệ. Ví dụ, phương trình (1) không hẳn là một bài tập số học. Nếu một học sinh giải nó bằng cách lập luận "vì chúng bằng nhau, kể cả khi tôi đem hai vế của phương trình trừ đi 15 thì dấu bằng vẫn được giữ nguyên...", em đó đang tư duy đại số. Một cách giải khác cho phương trình (1) là biểu diễn 40 thành 15 cộng thêm một số khác, ví dụ 15 + ___ = 15 + 25. Cách này có thể rất đơn giản nhưng nó liên quan tới một nguyên tắc rất quan trọng: Vì tổng số lượng ở hai vế của dấu bằng đều bằng nhau và 15 bằng với 15, chỗ trống phải bằng với 25! Đây là lập luận đại số!

Với phương trình (2), kể cả khi học sinh có thể tìm ra hàng trăm cặp giá trị đúng, nếu chúng không nhìn ra được mối quan hệ giữa hai số trong chỗ trống thì chúng vẫn chưa tham gia vào đại số.

Do đó, không phải nhiệm vụ hay vấn đề mà chính những cách giải chúng ta sử dụng mới có thể nói được rằng chúng ta có đang tư duy đại số hay không.

TÓM LẠI, TƯ DUY ĐẠI SỐ LÀ GÌ?

Tư duy đại số bao gồm các suy luận, phát biểu quy nạp có chủ đích, giả thuyết khám phá tích cực, lập luận ở góc độ các mối quan hệ và cấu trúc, theo giáo sư James J. Kaput. Giáo sư Kaput (1942-2005) là một người có nhiều đóng góp trong việc ứng dụng công nghệ vào giảng dạy toán và nghiên cứu cải cách giáo trình toán ở Mỹ.

Theo giáo sư Carolyn Kieran ở đại học Montreal (Canada), tư duy đại số khi làm việc với các con số có những đặc điểm như sau:

- tập trung vào mối quan hệ tương ứng giữa các con số chứ không chỉ vào phép tính

- tập trung vào các phép toán, thao tác (ví dụ cộng trừ nhân chia) và phép đảo ngược của chúng, vào ý tưởng làm/hủy làm (do/undo) liên quan tới các thao tác đó.

- tập trung vào việc biểu tượng hóa (xây dựng công thức để biểu diễn các đại lượng chưa biết) và giải bài toán thay vì chỉ đơn thuần giải bài.

- tập trung vào ý nghĩa của dấu bằng không phải như là một ký hiệu để biểu diễn thao tác mà là sự tương đương.

Ronda giới thiệu một bài viết cho bạn đọc quan tâm tham khảo thêm là What is Algebra? của giáo sư toán Keith Devlin ở đại học Stanford. Giáo sư Devlin đã có hơn 80 nghiên cứu và 30 đầu sách được xuất bản, trong số này có những cuốn giành các giải thưởng danh giá ở Mỹ như Pythagoras Prize, Carl Sagan Award.

(Ảnh: ThoughtCo)

Toán tiểu học đơn giản hơn toán trung học và với những bài toán quá dễ như phương trình (1) ở trên thì trong thực tế, chúng ta cũng có thể thấy được đáp án bằng trực giác (quan sát) hoặc làm phép trừ đơn giản. Không phải mọi bài toán đều cần tư duy đại số!

Tuy nhiên, với những bài toán phức tạp thì tư duy đúng cách sẽ giúp chúng ta tìm được đáp án nhanh chóng, chính xác hơn. Dưới đây là ví dụ thứ hai về tư duy đại số ở bậc trung học từ một giáo viên dạy toán ở Mỹ.

Trong giờ học toán lớp 8, môn hình học 3D, các em học sinh cùng tìm hiểu cách tính thể tích các hình cầu, hình ống và hình nón. Khi được yêu cầu tính thể tính bằng số pi thì trong lớp có 2 nhóm giải theo 2 cách khác nhau.

Một nhóm không thích dùng pi mà thích viết luôn thành số thập phân là 3,14. Nhóm này không dùng công thức mà nhìn hình và bắt đầu nhân từ trái sang phải. Khi tìm thể tích hình ống, nhóm này nhân 3,14 với bình phương bán kính, rồi nhân với chiều cao!

Nhóm thứ hai thao tác với pi dễ dàng hơn thì bắt đầu bằng công thức tính thể tích, thay thế các đại lượng đã biết để ra đáp số.

Theo đánh giá của giáo viên, nhóm một đã hiểu sai 2 điểm: đặc tính tích lũy của phép nhân, cách thế số vào công thức. Đó là các học sinh suy nghĩ theo kiểu số học. Với các em, mỗi bài toán là một câu đó hóc búa về việc nên thực hiện phép toán nào, nhân hay chia, hay căn bậc hai. Thật sự phức tạp khi phải tính bình phương hai lần rồi cộng thêm và lấy căn bậc hai…

Với cách làm này, các em có thể "vượt qua" phần lớn chương trình toán trung học vì nhiều bài có thể thuộc lòng như các bài toán số học khi được làm đủ số lần cần thiết. Phân số chỉ còn là các bài toán số học nhiều bước. Nhưng các em vẫn phải cần đến tư duy đại số khi đứng trước nhiều bài toán cần giải nhanh và đúng. Các em không thể làm điều này nếu không có khả năng tư duy về các biến số.

(Ảnh: Math is Fun) 

Trong lĩnh vực lập trình máy tính, những người viết code cần hiểu rõ và vận dụng được logic toán. Và bộ môn toán liên quan nhiều nhất đến lập trình máy tính chính là đại số. Để đáp ứng yêu cầu đào tạo nguồn nhân lực công nghệ thông tin đang ngày càng cần thiết hơn trong xu thế cách mạng công nghiệp 4.0, từ nhiều năm qua giáo dục toán ở các nước tiên tiến đã thay đổi theo hướng chú trọng bồi dưỡng tư duy đại số từ sớm chứ không chờ đến bậc trung học như trước.  

Tại Mỹ, khả năng tư duy đại số là thành phần xuyên suốt trong môn toán ở mọi cấp lớp trong bộ tiêu chuẩn chung (CCSS Common Core State Standards hay Tiêu chuẩn Cốt lõi Chung), là các tiêu chí cần đạt về kiến thức và năng lực chi tiết đến từng cấp học từ mẫu giáo đến lớp 12 cho hai môn toán và tiếng Anh. CCSS được hai tổ chức gồm các nhà quản lý trường học, hiệp hội thống đốc các bang CCSSO và NGA ban hành từ năm 2009. CCSS là một phần trong các cải cách giáo dục thường xuyên diễn ra ở Mỹ để cải thiện năng lực toán của học sinh Mỹ trên trường quốc tế, đảm bảo cho học sinh có năng lực tư duy tốt hơn để sẵn sàng vào đại học hay gia nhập thị trường lao động đầy thách thức ở thế kỷ 21. CCSS khuyến khích học sinh hiểu rõ bản chất vấn đề bằng cách phân tích, nhận định, lập luận chứ không chỉ dừng ở học thuộc lòng. Hiện nay, đã có 41/52 bang ở nước Mỹ áp dụng CCSS, trong đó có những bang lớn như California, Arizona, New Mexico...

Linh Trần (Tổng hợp)