Dạy toán cho trẻ ở phương Tây: “tập hợp hóa” số học theo Jean Piaget-Bourbaki là một sai lầm (kỳ 1)

Theo các nghiên cứu mới nhất về tâm lý học, con người chúng ta đã có khả năng nhận ra các con số khi mới sinh, 6 tháng hiểu được phép cộng trừ cơ bản dù chưa đến trường học các khái niệm toán bài bản. Ấy vậy mà trong phong trào "toán học mới" những năm 1950-1980 ở phương Tây, tin vào Jean Piaget và trường phái toán học thuần túy Bourbaki, các nhà cải cách đã đổi mới giáo trình toán tiểu học, dạy thuyết tập hợp để tạo nền tảng cho học sinh có khái niệm về các con số và 4 phép tính.

Con người có năng khiếu toán bẩm sinh, có tư duy về số từ 2 tuổi

"Công nghệ" dạy toán mới trên thế giới: khám phá quy tắc đại số trước khi đếm 1, 2, 3, 4... - phần 2

Bạn có thể hiểu sai ý nghĩa của các con số nếu nói "2 + 3 = 10" như GS Hồ Ngọc Đại

Một cô giáo dùng LEGO để dạy trẻ em học toán, cực dễ hiểu

Trong bài viết hồi đầu tháng trước (10/2019) về tư duy về số ở trẻ em, chúng tôi đã nói về thí nghiệm của Jean Piaget và ảnh hưởng của nó đến việc dạy toán ở phương Tây. Xin tóm lược lại như dưới đây.

Theo nghiên cứu của nhà tâm lý Thụy Sĩ Jean Piaget đầu những năm 1950, trẻ nhỏ trước tuổi lên 6 không hiểu được nguyên tắc "bảo toàn số", nghĩa là dù số lượng các đồ vật trong một nhóm đồ nào đó không đổi mà chỉ có cách sắp xếp chúng thay đổi, các em sẽ trả lời sai số lượng này. Mọi sự học toán trước tuổi lên 6 đều chỉ là học vẹt và tập hợp, tập hợp con mới là điều kiện tiên quyết để trẻ hiểu sâu về số.

Chịu ảnh hưởng mạnh mẽ của Jean Piaget, Mỹ và các nước lớn ở châu Âu hưởng ứng cuộc cải cách dạy toán Toán học Mới như Pháp, Bỉ, Anh, Nga... đã dạy cho học sinh tiểu học thuyết tập hợp trước các con số, dạy 4 phép tính căn bản dựa trên tập hợp trong nhiều năm liền, từ cuối 1950 đến 1970 và đầu 1980.

Nhà tâm lý Jean Piaget là người có nhiều ảnh hưởng đến các hệ thống giáo dục trên thế giới, nhiều quan điểm về cách học, năng lực trí óc ở trẻ em trong thế kỷ 20. Tuy vậy, các nghiên cứu sau này trong lĩnh vực tâm lý phát triển từ những năm 1974 đến nay đã bác bỏ quan điểm trên của Jean Piaget. Trẻ nhỏ cỡ 2 tuổi đã có thể nhận biết số lượng ít nhiều, trẻ 4-5 hiểu đúng nguyên tắc bảo toàn. Con người có năng khiếu hiểu số hay tư duy số (number sense) bẩm sinh, có thể đếm dù chưa có từ vựng về các con số.

Phong trào cải cách "Toán học Mới" còn gọi là toán hiện đại (New Math, modern math, les Mathématiques modernes). Toán học Mới nổi lên ở Mỹ và nhiều nước châu Âu cuối 1950, đi xuống từ những năm 1970 và đến đầu thập niên 1980 thì được thừa nhận là thất bại. Chương trình toán tiểu học ở Anh, Mỹ, Pháp, Nga hiện nay đều dạy học sinh nhận biết số qua trực giác, hiểu số đơn giản là số đếm, 4 phép tính chỉ là 4 phép tính số học như truyền thống trước đây.

Chương trình toán tiểu học ở Anh, Mỹ, Pháp, Nga hiện nay đều dạy học sinh nhận biết số qua trực giác (Ảnh: Maths 4 All)

Dạy trẻ khái niệm số và 4 phép tính căn bản dựa trên tập hợp ở phương Tây thời Toán học Mới cụ thể là như thế nào và cải tiến này đã thất bại ra sao? Đó là trọng tâm chính của bài viết này.

Trong phần đầu tiên, chúng ta hãy tìm hiểu một chút về bối cảnh lịch sử của Toán học Mới và hệ thống toán hiện đại-các cấu trúc toán học của nhóm Bourbaki.

Hội nghị Royaumont

Sau sự kiện Liên Xô phóng thành công vệ tinh Sputnik năm 1957, Mỹ mong muốn thúc đẩy giáo dục toán và khoa học với tham vọng đuổi kịp Liên Xô. Sau thế chiến II, các nước châu Âu cũng nhận thấy chương trình học phổ thông, đại học và nghiệp vụ sư phạm cần được cải tiến.

Trong bối cảnh đó, tháng 11 năm 1959, một hội nghị về tư duy mới trong giáo dục toán được tổ chức ở Royaumont (Pháp).

Theo các báo cáo sau hội nghị Royaumont, môn toán trong nhà trường cần thay đổi mục tiêu theo hướng phát triển khái niệm và cách tư duy. Việc giảng dạy cần thay đổi tương ứng như sử dụng các vật liệu cụ thể, xem việc học là kết quả của hiểu biết phát sinh từ khám phá và thí nghiệm có hướng dẫn. Theo phương pháp khám phá, học sinh phải được dẫn dắt đi tới định nghĩa số là sự trừu tượng hóa đặc điểm của một tập hợp. Để đi tới sự trừu tượng hóa này, những ý tưởng của thuyết tập hợp như: tập hợp, tập hợp con, sự tương ứng một-một, thứ tự có thể được sử dụng (sử dụng ý tưởng chứ không nhất thiết sử dụng ngôn ngữ tập hợp). 

Các nội dung số thứ tự, số đếm hữu hạn, các khái niệm tập hợp con, phần bù tập hợp, hợp và giáo của hai hoặc ba tập hợp cũng có thể được đưa vào môn số học trong trường tiểu học, theo nhà toán học Pháp Choquet. Phép cộng sẽ được trình bày là hợp của các tập hợp hữu hạn không có phần tử chung, phép nhân là tích của các tập hợp hữu hạn.  

Trong bài phát biểu giới thiệu chủ đề hội nghị và đề nghị những cách tiếp cận mới cho đại số và số học, Gustave Choquet đã trình bày khuynh hướng của toán hiện đại và những bằng chứng tâm lý về dạy toán của Jean Piaget.

Nghiên cứu các cấu trúc là khuynh hướng của toán hiện đại để xóa bỏ ranh giới giữa số học, đại số, hình học và tích phân. Tập hợp số tự nhiên và tập hợp số nguyên đều có nhiều cấu trúc, và tập hợp số nguyên (Z) là một nền tảng tuyệt vời để hình thành khái niệm về các dạng cụ thể của cấu trúc cho trẻ từ sớm. Do đó, tập hợp số nguyên có thể được dùng để dạy trẻ các khái niệm tương ứng một-một, hàm số, chuyển đổi và bằng nhau.

Dựa trên các thí nghiệm hiểu biết về số và độ dài của trẻ em đến 7 tuổi, Jean Piaget cho rằng việc học những ý tưởng bộ phận-toàn thể sẽ tạo ra một cấu trúc đại số sơ bộ. 

Tại hội nghị Royaumont, tất cả các đại biểu tham gia cũng đều thống nhất rằng, việc giảng dạy toán hiện đại cần tập trung vào việc nắm bắt các khái niệm trừu tượng và cấu trúc toán học thay vì trình bày một đống kiến thức về các định lý vô bổ.

Nhà toán học Pháp Gustave Choquet là giáo sư toán tại học viện Henri Poincaré ở Paris, chủ tịch và là một trong những người sáng lập Ủy ban Quốc tế về Nghiên cứu và Cải thiện Giảng dạy Toán (CIEAEM). Ý kiến của Choquet đã được nhiều nước áp dụng khi cải cách sách giáo khoa môn toán trong phong trào Toán học Mới, đặc biệt là khối Bắc Âu đã cùng hợp tác biên soạn bộ sách toán Bungaard cấp tiểu học, chủ đề chính của phần 2.

Hội nghị Royaumont do OEEC (tổ chức hợp tác kinh tế châu Âu, tiền thân của OECD ngày nay) tổ chức là một sự kiện quan trọng trong lịch sử phong trào toán học mới cả ở châu Âu lẫn Mỹ. Royaumont có sự tham gia của Mỹ và tất cả các nước thành viên OEEC, chỉ thiếu Iceland, Tây Ban Nha, Bồ Đào Nha.

Ủy ban Quốc tế về Nghiên cứu và Cải thiện Giảng dạy Toán CIEAEM là một tiếng nói mạnh mẽ tại hội nghị Royaumont với những thành viên sáng lập như nhà tâm lý Thụy Sĩ Jean Piaget (1896-1980), nhà toán học Pháp Gustave Choquet (1915-2006). Một thành viên sáng lập khác của CIEAEM là nhà toán học Pháp Jean Dieudonné (1906-1992), giáo sư toán tại học viện Hautes Études Scientifiques ở Paris, cũng có một bài phát biểu quan trọng về cải cách dạy toán theo trường phái Bourbaki. 

CIEAEM tìm kiếm những giải pháp dạy toán mới phù hợp với những thay đổi trong bối cảnh xã hội và toán học tại châu Âu. Mối quan tâm chính của CIEAEM những năm 1959 và thập niên 1960 là sự chú ý vào học sinh, tiến trình giảng dạy, sự phù hợp tâm lý trong giáo dục toán, vai trò quan trọng của các học liệu cụ thể và sư phạm tích cực, nghiên cứu của Piaget về mối quan hệ giữa các cấu trúc trí óc và cấu trúc toán học trong toán hiện đại của Bourbaki.

CIEAEM hiện nay là một tổ chức thành viên của Ủy ban quốc tế về giảng dạy toán ICMI.

Toán hiện đại-toán học là các cấu trúc

Toán hiện đại (Mathématique Moderne, Modern Mathematics) là công trình hệ thống hóa toán học vào những năm 1930 của Bourbaki, một nhóm các nhà toán học lỗi lạc Pháp. Giáo sư toán Jean Dieudonné là một trong những người lãnh đạo nổi tiếng của nhóm Bourbaki.

Toán hiện đại theo trường phái Bourbaki của nước Pháp là yếu tố quan trọng nhất dẫn đến sự bùng nổ của phong trào Toán học Mới ở phương Tây, ảnh hưởng của toán hiện đại trong phong trào này còn quan trọng hơn cả các nghiên cứu tâm lý của Jean Piaget.

Toán hiện đại của Bourbaki là sự tiên đề hóa (axiomization) toán học dựa trên logic hình thức và thuyết tập hợp, nền tảng của mọi kiến thức toán học đã có. Trong bách khoa toàn thư toán học của Bourbaki, biên giới giữa các ngành toán học khác nhau như số học, đại số bị xóa bỏ, thay vào đó là các "cấu trúc" (structure), khái niệm trung tâm của Bourbaki. Các cấu trúc được định nghĩa bằng các tiên đề, yếu tố quyết định mối quan hệ giữa các thành phần trong hệ thống toán học Bourbaki.

Toán học Bourbaki được xây dựng theo phương pháp tiên đề-diễn dịch, phát triển từ tổng quát đến cụ thể với nền tảng là lý thuyết tập hợp. Lý thuyết tiên đề của một cấu trúc nào đó được tạo thành từ các tiên đề cho sẵn và tất cả định lý tổng quát liên quan. Các định lý liên quan đều là hệ quả logic suy ra từ các tiên đề. Các tiên đề được mô tả bằng những thành phần thỏa mãn một hoặc nhiều quan hệ độc lập với nhau.

Toán học Bourbaki được xây dựng theo phương pháp diễn dịch, lý thuyết của các cấu trúc gồm các tiên đề cho sẵn và các định lý liên quan là hệ quả của các tiên đề (Ảnh: Batesville Community Schools)

Bourbaki chia toán học thành 3 cấu trúc mẹ (parent structure): cấu trúc đại số (algebraic structure), cấu trúc thứ tự (order structure) và cấu trúc tô-pô (topological structure). Mọi cấu trúc khác đều là hệ quả suy ra từ việc kết hợp hoặc nhân đôi các cấu trúc này.

Một cấu trúc cần có 3 điều kiện: tập hợp, mối quan hệ và quy tắc kết hợp các tập hợp-mối quan hệ đó. Tập hợp là tổng hợp các thành phần định nghĩa sự hình thành một đối tượng toán học. Mối quan hệ là một phép biến đối trên một hoặc nhiều tập hợp để tạo ra một tập hợp khác.

Có thể ví dụ một số cấu trúc đại số như: nhóm (group), vành (ring), trường (field), ba đối tượng cơ bản nhất trong môn đại số trừu tượng.

Nhóm, vành, trường đều là những cấu trúc đại số cao cấp, những khái niệm khác hẳn môn đại số ở trường phổ thông. Hiểu đơn giản, nhóm là một tập hợp mà trong đó việc thực hiện một phép toán nào đó cần thỏa mãn một số tiên đề.

Tập hợp số nguyên (Z) là một nhóm đối với phép cộng hay nhóm cộng (additive group) vì đáp ứng cả 4 tiên đề:

Tổng của 2 số nguyên bất kỳ là 1 số nguyên (tính đóng)

Với mọi a, b, c ∈ Z ta có (a+b)+c=a+(b+c) (tính kết hợp)

Với mọi a ∈ Z ta có a + 0 = 0 + a = a (0 là phần tử đơn vị)

Với mọi a ∈ Z ta có a + (-a) = (-a) + a = 0 (tồn tại phần tử đối lập).

Tất cả những ai biết cộng và trừ các số nguyên đều đã làm quen với nhóm toán học gọi là nhóm cộng dù chưa bao giờ được nghe giải thích thuật ngữ "nhóm".

Vành là cấu trúc đại số trung gian giữa nhóm và trường. Tập hợp Z đối với phép cộng và phép nhân thông thường cũng là một vành. Các phép chia sử dụng thương và phần dư liên quan tới vành.

Trường là cấu trúc đại số cao cấp hơn cả nhóm. Các tập số hữu tỉ (Q), số thực (R) tương ứng với phép cộng và phép nhân thông thường đều là các trường. Số học phân số liên quan tới trường nên học sinh tiểu học thường gặp rắc rối khi học phân số hơn phép cộng và nhân.

Các phép toán như phép cộng, phép nhân gọi chung là các phép biến đổi-quan hệ giữa các thành phần của tập hợp trong định nghĩa cấu trúc toán học của Bourbaki.

(Ảnh: rs.io)

Sau hội nghị Royaumont, Toán học Mới hay toán hiện đại, cuộc cải cách dạy toán theo trường phái toán học Bourbaki của Pháp diễn ra sôi nổi tại quê hương Bourbaki như Pháp, Bỉ và lan rộng sang Anh, Đức, Hà Lan… Một phong trào song song ở Mỹ khởi đầu trong phạm vi hẹp từ đầu 1950 cũng được mở rộng trên toàn quốc. Chương trình môn toán ở các nước nói trên bắt đầu được thay đổi, ban đầu từ đại học rồi đến phổ thông, từ trung học đến tiểu học.

Hết phần 1, mời bạn đọc đón xem phần 2: Sách toán tiểu học ở Phương Tây thời Toán học Mới dạy số và 4 phép tính dựa trên tập hợp như thế nào? Bản chất các con số là gì?

Linh Trần (tổng hợp)


Đánh giá gần đây
Đọc nhiều nhất Phản hồi nhiều nhất

1 Trận Việt Nam - UAE ngày 14/11 mấy giờ đá?

2 Mua thiết bị ngăn hàng xóm hát karaoke là trái pháp luật

3 Cầu thủ UAE và CĐV thể hiện độ giàu có, chịu chơi hàng hiệu như thế nào?

4 Xem trực tiếp Việt Nam - UAE ngày 14/11 trên kênh nào?

5 8 thương hiệu tai nghe hàng đầu thế giới: không có Apple hay Beats

Tin Liên quan
Các tin khác
a
Xem thêm
Góc nhìn VNREVIEW