Dạy toán cho trẻ ở phương Tây: “tập hợp hóa” số học theo Jean Piaget-Bourbaki là một sai lầm (kỳ 3)

Cuối thập niên 1950, theo đuổi cấu trúc toán học của trường phái Bourbaki và nghiên cứu tâm lý của Jean Piaget, các nhà giáo dục phương Tây đã dạy học sinh hiểu số và 4 phép tính cơ bản bằng thuyết tập hợp. Đầu 1980, phong trào Toán học Mới sụp đổ, các nước quay lại dạy số học theo truyền thống cũ. Ngày nay, ngành thần kinh học đã khẳng định: tư duy số hay number sense là năng lực bẩm sinh, con người ai cũng có thể nhận biết các con số mà không cần học qua các định nghĩa toán học trừu tượng.

Dạy toán cho trẻ ở phương tây: "tập hợp hóa" số học theo Jean Piaget-Bourbaki là một sai lầm (kỳ 1)

Dạy toán cho trẻ ở phương Tây: "tập hợp hóa" số học theo Jean Piaget-Bourbaki là một sai lầm (kỳ 2)

Con người có năng khiếu toán bẩm sinh, có tư duy về số từ 2 tuổi

"Công nghệ" dạy toán mới trên thế giới: khám phá quy tắc đại số trước khi đếm 1, 2, 3, 4... - phần 2

Mời bạn đọc đến với phần 3:;TƯ DUY SỐ-NUMBER SENSE LÀ KHẢ NĂNG BẨM SINH CỦA CON NGƯỜI 

Phần 3 tổng hợp một số đoạn trong The Number Sense của Stanislas Dehaene và các nguồn khác.

Cải cách sau Toán học Mới

Trong phần 2, chúng tôi đã giới thiệu Bungaard, một bộ sách toán tiểu học ở Bắc Âu những năm 1970. Bungaard và những bộ sách có cùng tư tưởng dạy số dựa trên khái niệm tập hợp đã chết theo sự sụp đổ của Toán học Mới. Sau thảm họa Toán học Mới, sách giáo khoa các nước đều được sửa đổi, dạy học sinh hiểu số và 4 phép tính qua trực giác, cách tiếp cận truyền thống hàng ngàn năm qua.

(Ảnh: Planning Play Time)

Trong tác phẩm The Number Sense: How The Mind Creates Mathematics (Tư duy số: Tâm trí đã tạo ra toán học như thế nào) xuất bản năm 1999, nhà thần kinh học Stanislas Dehaene đã phê phán những cải cách của Toán học Mới và hệ lụy của nó với học sinh các nước phương Tây như sau:

Hệ thống toán học mà nhóm Bourbaki xây dựng trên cơ sở tiên đề là xu hướng của chủ nghĩa hình thức mà David Hilbert đề ra và được Bourbaki theo đuổi. Mục tiêu của Bourbaki là thâu tóm toàn bộ toán học thành những thao tác thuần túy hình thức trên các ký hiệu trừu tượng.

Cuộc cải cách Toán học Mới hay "toán hiện đại" dựa trên tầm nhìn này đã tàn phá năng khiếu toán của một thế hệ học sinh Pháp (và các nước tham gia) khi đưa ra "một nền giáo dục hình thức đến cực đoan, cắt bỏ mọi sự hỗ trợ trực giác, được trình bày theo các tình huống giả tạo được chọn lọc kỹ lưỡng".

Thật khó mà nghĩ ra một cách nào tốt hơn để làm rối trí trẻ em như các nhà cải cách khi họ cho rằng trẻ em nên làm quen với các nguyên tắc lý luận về tính toán trước khi học những ví dụ cụ thể về hệ thập phân quen thuộc, hay giải thích 3+4=12 trong hệ 5 như cách mở đầu của một số sách giáo khoa thời Toán học Mới.

David Hilbert (1862-1943) là nhà toán học và logic học lừng danh người Đức, người đề xướng chủ nghĩa hình thức (formalism) vào đầu thế kỷ 20. Chủ nghĩa hình thức xem toán học chỉ là sự thao tác trên các ký hiệu tuân thủ các quy tắc chính xác có tính hình thức. Các đối tượng toán học như các con số chỉ là một tập hợp các ký hiệu thỏa mãn một số tiên đề chứ không có liên hệ gì với thực tế. Toàn bộ toán học có thể được rút gọn thành sự khám phá hệ quả của các lựa chọn tùy ý thuần túy.

Ngày nay, "toán hiện đại" hay Toán học Mới, thứ toán học dựa trên tầm nhìn toán học hình thức đã không còn phát triển. Các nước đã cải cách lại cách dạy số vã 4 phép tính ở tiểu học theo hướng sử dụng các vật liệu minh họa cụ thể như truyền thống.

Theo báo cáo, tại Iceland, trong các sách toán mới sau này, các nhà cải cách đã thay đổi trọng tâm từ thuyết tập hợp và cấu trúc sang hướng đến học sinh nhiều hơn, để các em khám phá và sử dụng các đồ dùng trực quan.

Theo Stanislas, tại Mỹ, hội đồng quốc gia giáo viên toán đã tập trung hơn vào việc dạy học sinh làm quen với số qua trực giác.

Tại Pháp, nơi chịu ảnh hưởng trực tiếp nhất của chủ nghĩa Bourbaki, không chờ đợi lời khuyên của các nhà tâm lý, nhiều trường học và giáo viên đã dần áp dụng trở lại một số đồ dùng dạy số truyền thống như các chuỗi hạt cườm màu và bảng gỗ Seguin trong giáo cụ Maria Montessori, đá đơn vị, thanh hàng chục, đĩa hàng trăm, xúc xắc, game bàn cờ...

Sau Toán học Mới, nước Pháp sử dụng lại một số đồ dùng dạy số truyền thống: Chuỗi hạt cườm màu, bảng gỗ Seguin (Ảnh: Amazon)

"Sau một số cải cách, có vẻ như Bộ giáo dục Pháp đã từ bỏ ý tưởng biến mỗi đứa trẻ thành một cỗ máy tính toán trên ký hiệu. Tư duy về các  con số, thật ra là hiểu biết chung (common sense) đã trở lại".

Tư duy về số - number sense là gì?

"Con người, cả những người ở các giai đoạn phát triển thấp hơn, sở hữu một năng lực được gọi là tư duy về số. Năng lực này cho phép con người không cần kiến thức trực tiếp vẫn nhận biết những gì đã thay đổi trong một tập hợp nhỏ khi một đối tượng bị bỏ ra hoặc thêm vào tập hợp", lời nhà toán học Tobias Dantzig trong cuốn Number: The Language of Science (Số: Ngôn ngữ của Khoa học) bản in lần thứ tư năm 1954.

Nhà toán học Mỹ Dantzig (1884-1956) viết những dòng trên và đưa ra thuật ngữ number sense từ năm 1954. Khi đó, ngành tâm lý học còn bị thống trị bởi chủ nghĩa kiến tạo của Jean Piaget chối bỏ mọi khả năng học số và tính toán của trẻ nhỏ. Phải đến hai mươi năm sau (giữa thập niên 1970), quan điểm kiến tạo của Piaget về tư duy số mới bị bác bỏ và quan điểm của Dantzig mới được công nhận:

Tất cả chúng ta đều sở hữu trực giác đã phát triển về các con số, kể cả trong năm đầu tiên mới sinh ra. Trẻ sơ sinh không vô dụng mà khi mới sinh, trẻ đã có một ít khả năng số học so với kiến thức số của động vật, theo Stanislas trong The Number Sense.

Tư duy về số còn gọi là tư duy số, tư duy số học, ý thức về các con số. 

Trong bài viết tháng trước về tư duy số ở con người, chúng tôi đã nhắc đến những nghiên cứu chứng minh ý kiến của Dantzig là đúng.

Một số thí nghiệm của các nhà tâm lý học nhận thức ở Mỹ cuối những năm 1960 và giữa 1970 cho thấy: trẻ nhỏ ba tuổi đã có thể hiểu được sự bảo toàn số, tuy ở dạng tiềm ẩn chứ không biểu hiện ra ngoài bằng lời nói. Ngoài ra, nhiều nghiên cứu khác đã khẳng định: cũng như khả năng học các quy tắc ngữ pháp, tất cả chúng ta đều có khả năng nhận biết số bẩm sinh, có thể đếm dù chưa có từ vựng về các con số. Trẻ sơ sinh 6 tháng đã có thể thực hiện các phép cộng trừ đơn giản!

Một loạt công trình mới sau đó cũng có quan điểm tương tự:

Trước tuổi lên 4, trẻ nhỏ đã thành thạo kiến thức cơ bản về đếm số. Các em bé ba tuổi rưỡi đã có thể xác định và sửa chữa những sai sót đếm số tinh tế. Chúng luôn thành công trong việc chú ý đến ai đó đọc các con số sai trật tự, bỏ quên một món khi đếm hoặc đếm một món tới hai lần.

Điều quan trọng nhất là, các trẻ này phân biệt được khá rõ những lỗi đếm số ở trên và những cách đếm số khác tuy đúng đắn nhưng khác thường. Ví dụ, khi bày ra các hàng đồ vật, chúng nhận ra việc ai đó bắt đầu đếm từ giữa hàng hay đếm những đồ vật khác trước đều có thể chấp nhận được, miễn là cuối cùng người đó đếm tất cả đồ vật một lần duy nhất. Hay hơn nữa, các bé sẵn sàng đếm từ bất kỳ điểm nào trong hàng và có thể sáng chế ra những chiến lược để tới được một món đồ cho trước ở vị trí thứ ba một cách có hệ thống (vị trí thứ ba: một chỗ nào đó không phải đầu hay cuối hàng).

Về mặt sinh học, một trong những bộ phận trí óc đặc thù của bộ não là bộ xử lý số nguyên thủy có những đặc điểm như môn số học được dạy trong nhà trường, dù không hoàn toàn trùng khớp nhau. Một điều có vẻ khó xảy ra là nhiều loài động vật bị con người chúng ta "chê" là ngu ngốc hay hung dữ như chuột, chim bồ câu thật ra lại khá giỏi về tính toán. Chúng có thể biểu diễn các đại lượng về mặt trí óc và biến đổi các đại lượng theo một số quy tắc số học. Theo các nhà khoa học đã nghiên cứu những khả năng này, động vật có một bộ phận trí óc mà theo truyền thống được gọi là "bộ tích lũy" (accumulator). Bộ tích lũy này có khả năng lưu trữ việc ghi nhận các số lượng khác nhau.

Nhờ bộ tích lũy, chuột có thể phân biệt các chuỗi có 2, 3, hay 4 âm thanh hoặc tính toán xấp xỉ các phép cộng hai số lượng. Cơ chế của bộ tích lũy này mở ra một chiều hướng mới về nhận thức cảm giác (sensory perception). Theo đó, số đếm của một tập hợp các vật thể có thể được nhận ra một cách dễ dàng như màu sắc, hình dạng hay vị trí của các vật đó. "Giác quan số" hay tư duy số này đem lại cho các động vật và con người khả năng giống nhau là trực nhận ý nghĩa các con số là gì.

(Ảnh: Fun Learning for Kids)

Chủ nghĩa kiến tạo (constructivism) của Jean Piaget ra đời những năm 1950 cho rằng, bộ não trẻ khi mới sinh là một trang giấy trắng không có bất kỳ kiến thức gì về mặt khái niệm. Các khả năng về toán và logic sẽ được xây dựng theo hướng phát triển dần qua quan sát, nội bộ hóa (internalize) và trừu tượng hóa các quy luật trong thế giới bên ngoài. Gene người không đem lại cho trẻ bất kỳ ý tưởng trừu tượng nào về môi trường trẻ đang sống. Gene chỉ dẫn truyền các thiết bị vận động, nhận thức đơn giản cùng một cơ chế học tập tổng quát tận dụng các tương tác của chủ thể với môi trường để tự tổ chức chính cơ chế này theo hướng phát triển đi lên.

Thuyết kiến tạo của Jean Piaget là một lý thuyết có ảnh hưởng lớn đến các hệ thống giáo dục hiện đại và lý luận về cách học ở trẻ em. Tuy vậy, cho đến hôm nay, các nghiên cứu mới nêu trên đã chứng minh được một số quan điểm kiến tạo của Piaget về khả năng toán ở trẻ là sai lầm.

Tóm lại, tư duy số là khả năng nhận ra các con số và sự biến đổi của chúng trong cuộc sống hàng ngày qua trực giác. Tư duy số là một sự cảm nhận mà con người ai cũng có dù không biết tới các định nghĩa toán học hay tập hợp là gì, như Dehaene đã khẳng định trong The Number Sense:

"Number sense của chúng ta không thể bị rút gọn thành định nghĩa hình thức của các tiên đề. Như Husserl đã viết trong Philosophy of Arithmetic (Triết lý Số học), đưa ra một định nghĩa hình thức về những gì được gọi là số là bất khả thi. Khái niệm số là khái niệm nguyên thủy và không thể định nghĩa".

"Chúng ta biết các số nguyên là gì bằng trực giác… Nếu các nhà tâm lý giáo dục đủ tập trung vào tầm quan trọng của trực giác so với các tiên đề hình thức trong trí óc con người, một sự sụp đổ chưa từng có tiền lệ trong lịch sử toán học có thể đã được tránh khỏi. Tôi đang nhắc đến tập phim "toán hiện đại" tai tiếng đã để lại nhiều sự kinh hãi trong trí óc nhiều trẻ em ở tuổi đến trường tại Pháp cũng như nhiều nước khác".

Stanislas Dehaene (sinh năm 1965) là một nhà thần kinh học nhận thức nổi tiếng người Pháp, giáo sư trưởng khoa Tâm lý học nhận thức thực nghiệm ở Collège de France. Dehaene nghiên cứu nhiều lĩnh vực: nhận thức các con số, cơ sở thần kinh của việc đọc hiểu và sự tương quan thần kinh của ý thức. Collége de France, nơi Dehaenve làm việc là tổ chức nghiên cứu lâu đời, uy tín nhất nước Pháp. 21 giải Nobel và 8 huy chương Fields là thành tích mà các nhà khoa học ở đây đã giành được. Giáo sư ở học viện Collége de France được xem là danh giá nhất trong hệ thống giáo dục Pháp. 

Ngoài ý tưởng dạy số theo tập hợp, một ý tưởng sai lầm khác của Jean Piaget được đưa vào môn toán tiểu học trong phong trào Toán học Mới là dạy tập hợp con để học sinh hiểu được quan hệ bộ phận-toàn thể, việc một tập hợp con không thể có nhiều thành viên hơn tập hợp mẹ của nó. Tất cả hoa hồng đều là hoa nhưng không phải hoa nào cũng là hoa hồng. Trẻ nhỏ có thể nhận ra điều đơn giản này hay không? Câu hỏi này sẽ được giải đáp trong phần 4, mời bạn đọc đón xem.

Tài liệu tham khảo:

Bjarnadóttir, K. (2013), The implementation of the ‘New Math' in Iceland: comparison to its neighboring countries, International Journal for the History of Mathematics Education, 8(1), tr.8. Xem tại http://uni.hi.is/krisbj/files/2010/11/Vol8No1_Implrmrntation.pdf

Dahaene, S. (1999). Number Sense: How the mind creates mathematics. New York: Oxford University Press, tr.5, 42, 43, 120, 142, 240, 241, 243.

https://usth.edu.vn/vi/tin-tuc/tin-tuc/usth-ky-ket-hop-tac-voi-college-de-france-5249.html

Linh Trần (tổng hợp)