Thật kỳ diệu, trong Toán học mọi số nguyên đều là tổng của ba hoặc bốn bình phương

[VNR Content]

Bạn có biết chúng ta cần bao nhiêu bình phương để biểu diễn mọi số nguyên thành tổng của các bình phương?
Ta thấy rằng, hai bình phương là không đủ. Vậy ba hoặc bốn bình phương thì sao?
Hầu hết các số nguyên đều có thể biểu diễn thành tổng của ba bình phương. Nhưng có một ngoại lệ, những số có dạng:

không thể viết thành tổng của ba bình phương. Do đó, bạn sẽ gặp khó khăn khi viết các số 7, 15 hoặc 28 thành tổng của ba bình phương.
(

7=8x0+7
15=8x1+7)
Còn bốn bình phương?
Mọi số nguyên đều có thể viết thành tổng của bốn bình phương! Tổng của bốn bình phương là một kết quả cổ điển trong lý thuyết số. Năm 1770, nhà toán học Pháp Joseph Louis Lagrange công bố chứng minh cho định lý này. Trước đó, định lý tổng của bốn bình phương từng được các nhà toán học Gerard, Fermat, Diophantus phát biểu nhưng Lagrange là người đầu tiên chứng minh nó nên định lý này được gọi là định lý Lagrange.
Định lý Lagrange nói rằng: Mọi số nguyên dương đều có thể được viết thành tổng của không quá bốn bình phương.

trong đó a0, a1, a2, a3 là các số nguyên.
Ví dụ, các số 7, 15 đều có thể được biểu diễn thành tổng của bốn bình phương như sau:

Hoặc một ví dụ khác là số 310 có thể tách thành tổng của bốn bình phương theo nhiều cách:

Một ứng dụng của định lý Lagrange là, người khuân vác yêu cầu chất các hộp lên xe đẩy theo hình kim tự tháp các lớp hình khối vuông có chiều cao tối đa là 4 lớp. Theo định lý Lagrange, chúng ta có thể đạt được điều này bất kể người khuân vác có bao nhiêu hộp. Ví dụ trong hình minh họa là ta có 23 khối vuông xếp thành 4 lớp:

Theo Math Fun Facts
https://math.hmc.edu/funfacts/sums-of-three-and-four-squares/

<< Các dạng toán lũy thừa với số mũ tự nhiên​

<< Số chính phương là gì? Các nhận biết số chính phương ​