Trên đời này có gì phức tạp hơn số phức không?

[Bui Nhat Minh]

Trong toán học, có nhiều hệ thống số phức tạp hơn số phức, chẳng hạn như hệ quaternion.

Số phức và sự ra đời của số ảo​

Khi còn nhỏ, chúng ta chỉ biết đến số tự nhiên (1, 2, 3…). Sau đó, ta làm quen với số 0, số nguyên âm (-1, -2…), rồi số hữu tỉ (phân số) và số vô tỉ (√2, π…). Nhưng khi đối mặt với căn bậc hai của số âm, toán học buộc phải sáng tạo ra số ảo (i), với i² = -1.
Số phức là sự kết hợp giữa số thực và số ảo, có dạng a + bi (ví dụ: 4 + 3i). Chúng được biểu diễn trên mặt phẳng phức 2 chiều, nơi phép nhân với i tương ứng với phép quay 90 độ.

Quaternion: Bước tiến vào thế giới 4 chiều​

Nếu số phức giúp mô tả phép quay trong 2D, thì Quaternion (phát minh bởi William Hamilton) mở rộng khái niệm này lên 3D. Một Quaternion có dạng:
q = a + bi + cj + dk

Với i, j, k là các đơn vị ảo thỏa mãn:

i² = j² = k² = ijk = -1

ij = k, jk = i, ki = j

Quaternion được ứng dụng rộng rãi trong:
✔ Đồ họa máy tính (xoay vật thể 3D mượt mà)
✔ Lập trình game (tính toán chuyển động nhân vật)
✔ Cảm biến điện thoại (đo lường hướng và gia tốc)

Kết luận: Toán học không ngừng mở rộng​

Ngoài Quaternion, còn có các hệ số phức tạp hơn như Octonion (8 chiều) và Sedonion (16 chiều), nhưng chúng ít ứng dụng thực tế. Dù vậy, sự tồn tại của chúng chứng minh rằng toán học luôn ẩn chứa những điều kỳ diệu đằng sau những con số tưởng chừng đơn giản.