The Storm Riders
Writer
Bạn đã bao giờ vật lộn với một chiếc ghế sofa cồng kềnh quanh góc tường hẹp và than thở: "Liệu nó có vừa không?" Các nhà toán học đã nghe thấy tiếng kêu than của bạn. "Bài toán ghế sofa di chuyển" trong hình học tìm kiếm hình dạng lớn nhất có thể xoay một góc vuông trong hành lang hẹp mà không bị kẹt. Bài toán này đã chưa có lời giải trong gần 60 năm cho đến tháng 11, khi Jineon Baek, một nghiên cứu sinh sau tiến sĩ tại Đại học Yonsei ở Seoul, đăng tải một bài báo trực tuyến tuyên bố đã giải quyết được nó. Bằng chứng của Baek vẫn chưa được đánh giá kỹ lưỡng, nhưng những đánh giá ban đầu từ các nhà toán học quen thuộc với Baek và bài toán ghế sofa di chuyển có vẻ lạc quan. Chỉ thời gian mới có thể trả lời tại sao Baek phải mất 119 trang để viết ra điều mà Ross Geller trong sitcom Friends đã nói chỉ bằng một từ.
Giải pháp này khó có thể giúp bạn trong ngày chuyển nhà, nhưng khi toán học biên giới ngày càng trở nên trừu tượng, các nhà toán học vẫn dành sự yêu thích đặc biệt cho những bài toán chưa được giải mà ai cũng có thể hiểu. Trên thực tế, diễn đàn toán học nổi tiếng MathOverflow duy trì một danh sách "Các bài toán chưa được giải quyết, không đặc biệt nổi tiếng mà bất kỳ ai cũng có thể hiểu", và bài toán ghế sofa di chuyển hiện đang xếp thứ hai trong danh sách này. Tuy nhiên, mọi bằng chứng đều mở rộng hiểu biết của chúng ta và các kỹ thuật được sử dụng để giải quyết bài toán ghế sofa di chuyển có thể sẽ được áp dụng cho các câu đố hình học khác trong tương lai.
Các quy tắc của bài toán, được nhà toán học người Canada Leo Moser đưa ra lần đầu tiên vào năm 1966, liên quan đến một hình dạng cứng nhắc - do đó, đệm không bị biến dạng khi bị ép - xoay một góc vuông trong hành lang. Ghế sofa có thể là bất kỳ hình dạng hình học nào; nó không cần phải giống một chiếc ghế sofa thực sự. Cả hình dạng và hành lang đều là hai chiều. Hãy tưởng tượng chiếc ghế sofa quá nặng để nâng lên và bạn chỉ có thể trượt nó.
Một chuyến tham quan nhanh qua lịch sử của bài toán cho thấy nỗ lực to lớn mà các nhà toán học đã bỏ ra - họ không phải là những người lười biếng. Đối mặt với một hành lang trống, hình dạng lớn nhất mà bạn có thể đưa qua đó là gì? Nếu mỗi cạnh của hành lang đo được một đơn vị (đơn vị cụ thể không quan trọng), thì chúng ta có thể dễ dàng đẩy một hình vuông một cạnh qua lối đi. Việc kéo dài hình vuông thành hình chữ nhật sẽ thất bại ngay lập tức, bởi vì một khi nó chạm vào khúc cua trong hành lang, nó sẽ không có chỗ để xoay.
Tuy nhiên, các nhà toán học nhận ra rằng họ có thể làm cho hình lớn hơn bằng cách giới thiệu các hình dạng cong. Xét một hình bán nguyệt có đường kính (đáy thẳng) là 2. Khi nó chạm vào góc cua, phần lớn nó vẫn nhô ra ở cạnh đầu tiên của hành lang, nhưng cạnh tròn chừa đủ chỗ để vượt qua góc.
Hãy nhớ mục tiêu là tìm "ghế sofa" lớn nhất trượt quanh góc. Sử dụng các công thức hình học trung học, chúng ta có thể tính diện tích của hình bán nguyệt là π/2, hoặc xấp xỉ 1,571. Hình bán nguyệt cho thấy sự cải thiện đáng kể so với hình vuông, chỉ có diện tích là 1. Thật không may, cả hai sẽ trông rất kỳ lạ trong phòng khách.
Giải bài toán ghế sofa di chuyển yêu cầu bạn không chỉ tối ưu hóa kích thước của hình dạng mà còn cả đường dẫn mà hình dạng đó đi qua. Thiết lập cho phép hai loại chuyển động: trượt và xoay. Ghế sofa hình vuông chỉ trượt, trong khi hình bán nguyệt trượt, sau đó xoay quanh khúc cua và sau đó trượt trở lại ở phía bên kia. Nhưng các vật thể có thể trượt và xoay cùng một lúc. Nhà toán học Dan Romik của Đại học California, Davis, đã lưu ý rằng giải pháp cho bài toán nên tối ưu hóa đồng thời cả hai loại chuyển động.
Nhà toán học người Anh John Hammersley đã phát hiện ra vào năm 1968 rằng việc kéo dài hình bán nguyệt có thể giúp bạn có một chiếc ghế sofa lớn hơn nếu bạn khoét một phần để xử lý góc khó chịu đó. Hơn nữa, ghế sofa của Hammersley tận dụng chuyển động trượt cộng với xoay lai. Ghế sofa kết quả trông giống như một chiếc điện thoại cố định:
Việc tối ưu hóa các biến số khác nhau tạo ra một chiếc ghế sofa có diện tích π/2 + 2/π, hoặc xấp xỉ 2,2074. Đây là một nâng cấp lớn từ hình bán nguyệt, giống như chuyển từ ghế tình nhân sang ghế sofa. Nhưng tiến độ bị đình trệ ở đó trong 24 năm. Sự cải tiến đáng kể tiếp theo sẽ là lần cuối cùng. Năm 1992, Joseph Gerver đã công bố một kiệt tác của kỹ thuật toán học, mà bây giờ chúng ta biết là chiếc ghế sofa lớn nhất có thể.
Bạn sẽ được tha thứ vì cảm thấy déjà vu ngay bây giờ. Ghế sofa của Gerver trông giống hệt với ghế của Hammersley, nhưng nó là một cấu trúc phức tạp hơn nhiều. Gerver đã ghép 18 đường cong riêng biệt để tạo thành hình dạng của mình. Khi quan sát kỹ hơn, bạn có thể phát hiện ra một số điểm khác biệt, đặc biệt là các cạnh vát ở đáy của phần cắt tròn.
Diện tích của chiến thắng của Gerver là 2,2195 đơn vị. Đáng ngạc nhiên, chiếc ghế sofa tương đối đơn giản của Hammersley chỉ nhỏ hơn khoảng 0,012 so với mức tối ưu. Mặc dù chỉ lớn hơn một chút so với phiên bản tiền nhiệm, Gerver nghi ngờ rằng khám phá của mình đã đạt đến kích thước tối đa có thể. Tuy nhiên, ông không thể chứng minh điều đó. Và cũng không ai có thể làm điều đó trong 32 năm sau.
Baek đã hoàn thành bằng Tiến sĩ của mình vào năm 2024 và viết luận án của mình về bài toán ghế sofa di chuyển, đóng góp một số hiểu biết gia tăng. Cùng năm đó, anh đã tập hợp tất cả những ý tưởng mới mẻ của mình thành một tác phẩm ấn tượng, chứng minh rằng không có chiếc ghế sofa nào lớn hơn ghế của Gerver có thể len qua hành lang. Giải quyết một bài toán mở lâu đời là ước mơ của bất kỳ nhà toán học nào, chứ đừng nói đến một người còn quá trẻ trong sự nghiệp của họ. Nếu công trình của Baek chịu được sự giám sát kỹ lưỡng, anh ấy có thể sẽ được săn đón nhiều cho các vị trí giáo sư. Trừ khi anh ấy chuyển sang làm đồ nội thất.
Giải pháp này khó có thể giúp bạn trong ngày chuyển nhà, nhưng khi toán học biên giới ngày càng trở nên trừu tượng, các nhà toán học vẫn dành sự yêu thích đặc biệt cho những bài toán chưa được giải mà ai cũng có thể hiểu. Trên thực tế, diễn đàn toán học nổi tiếng MathOverflow duy trì một danh sách "Các bài toán chưa được giải quyết, không đặc biệt nổi tiếng mà bất kỳ ai cũng có thể hiểu", và bài toán ghế sofa di chuyển hiện đang xếp thứ hai trong danh sách này. Tuy nhiên, mọi bằng chứng đều mở rộng hiểu biết của chúng ta và các kỹ thuật được sử dụng để giải quyết bài toán ghế sofa di chuyển có thể sẽ được áp dụng cho các câu đố hình học khác trong tương lai.
Các quy tắc của bài toán, được nhà toán học người Canada Leo Moser đưa ra lần đầu tiên vào năm 1966, liên quan đến một hình dạng cứng nhắc - do đó, đệm không bị biến dạng khi bị ép - xoay một góc vuông trong hành lang. Ghế sofa có thể là bất kỳ hình dạng hình học nào; nó không cần phải giống một chiếc ghế sofa thực sự. Cả hình dạng và hành lang đều là hai chiều. Hãy tưởng tượng chiếc ghế sofa quá nặng để nâng lên và bạn chỉ có thể trượt nó.
Một chuyến tham quan nhanh qua lịch sử của bài toán cho thấy nỗ lực to lớn mà các nhà toán học đã bỏ ra - họ không phải là những người lười biếng. Đối mặt với một hành lang trống, hình dạng lớn nhất mà bạn có thể đưa qua đó là gì? Nếu mỗi cạnh của hành lang đo được một đơn vị (đơn vị cụ thể không quan trọng), thì chúng ta có thể dễ dàng đẩy một hình vuông một cạnh qua lối đi. Việc kéo dài hình vuông thành hình chữ nhật sẽ thất bại ngay lập tức, bởi vì một khi nó chạm vào khúc cua trong hành lang, nó sẽ không có chỗ để xoay.
Tuy nhiên, các nhà toán học nhận ra rằng họ có thể làm cho hình lớn hơn bằng cách giới thiệu các hình dạng cong. Xét một hình bán nguyệt có đường kính (đáy thẳng) là 2. Khi nó chạm vào góc cua, phần lớn nó vẫn nhô ra ở cạnh đầu tiên của hành lang, nhưng cạnh tròn chừa đủ chỗ để vượt qua góc.
Hãy nhớ mục tiêu là tìm "ghế sofa" lớn nhất trượt quanh góc. Sử dụng các công thức hình học trung học, chúng ta có thể tính diện tích của hình bán nguyệt là π/2, hoặc xấp xỉ 1,571. Hình bán nguyệt cho thấy sự cải thiện đáng kể so với hình vuông, chỉ có diện tích là 1. Thật không may, cả hai sẽ trông rất kỳ lạ trong phòng khách.
Giải bài toán ghế sofa di chuyển yêu cầu bạn không chỉ tối ưu hóa kích thước của hình dạng mà còn cả đường dẫn mà hình dạng đó đi qua. Thiết lập cho phép hai loại chuyển động: trượt và xoay. Ghế sofa hình vuông chỉ trượt, trong khi hình bán nguyệt trượt, sau đó xoay quanh khúc cua và sau đó trượt trở lại ở phía bên kia. Nhưng các vật thể có thể trượt và xoay cùng một lúc. Nhà toán học Dan Romik của Đại học California, Davis, đã lưu ý rằng giải pháp cho bài toán nên tối ưu hóa đồng thời cả hai loại chuyển động.
Nhà toán học người Anh John Hammersley đã phát hiện ra vào năm 1968 rằng việc kéo dài hình bán nguyệt có thể giúp bạn có một chiếc ghế sofa lớn hơn nếu bạn khoét một phần để xử lý góc khó chịu đó. Hơn nữa, ghế sofa của Hammersley tận dụng chuyển động trượt cộng với xoay lai. Ghế sofa kết quả trông giống như một chiếc điện thoại cố định:
Việc tối ưu hóa các biến số khác nhau tạo ra một chiếc ghế sofa có diện tích π/2 + 2/π, hoặc xấp xỉ 2,2074. Đây là một nâng cấp lớn từ hình bán nguyệt, giống như chuyển từ ghế tình nhân sang ghế sofa. Nhưng tiến độ bị đình trệ ở đó trong 24 năm. Sự cải tiến đáng kể tiếp theo sẽ là lần cuối cùng. Năm 1992, Joseph Gerver đã công bố một kiệt tác của kỹ thuật toán học, mà bây giờ chúng ta biết là chiếc ghế sofa lớn nhất có thể.
Bạn sẽ được tha thứ vì cảm thấy déjà vu ngay bây giờ. Ghế sofa của Gerver trông giống hệt với ghế của Hammersley, nhưng nó là một cấu trúc phức tạp hơn nhiều. Gerver đã ghép 18 đường cong riêng biệt để tạo thành hình dạng của mình. Khi quan sát kỹ hơn, bạn có thể phát hiện ra một số điểm khác biệt, đặc biệt là các cạnh vát ở đáy của phần cắt tròn.
Diện tích của chiến thắng của Gerver là 2,2195 đơn vị. Đáng ngạc nhiên, chiếc ghế sofa tương đối đơn giản của Hammersley chỉ nhỏ hơn khoảng 0,012 so với mức tối ưu. Mặc dù chỉ lớn hơn một chút so với phiên bản tiền nhiệm, Gerver nghi ngờ rằng khám phá của mình đã đạt đến kích thước tối đa có thể. Tuy nhiên, ông không thể chứng minh điều đó. Và cũng không ai có thể làm điều đó trong 32 năm sau.
Baek đã hoàn thành bằng Tiến sĩ của mình vào năm 2024 và viết luận án của mình về bài toán ghế sofa di chuyển, đóng góp một số hiểu biết gia tăng. Cùng năm đó, anh đã tập hợp tất cả những ý tưởng mới mẻ của mình thành một tác phẩm ấn tượng, chứng minh rằng không có chiếc ghế sofa nào lớn hơn ghế của Gerver có thể len qua hành lang. Giải quyết một bài toán mở lâu đời là ước mơ của bất kỳ nhà toán học nào, chứ đừng nói đến một người còn quá trẻ trong sự nghiệp của họ. Nếu công trình của Baek chịu được sự giám sát kỹ lưỡng, anh ấy có thể sẽ được săn đón nhiều cho các vị trí giáo sư. Trừ khi anh ấy chuyển sang làm đồ nội thất.
