Khái niệm “ vô cực ” thoạt nhìn có vẻ đơn giản, nhưng càng nghĩ càng thấy phức tạp. Vô cực có nghĩa là một chuỗi số không bao giờ kết thúc kéo dài đến vô cực . Nhưng điều đó cũng đòi hỏi về mặt kỹ thuật phải có vô số vô cực tạo thành một hệ thống phân cấp ngày càng phức tạp.
Các nhà khoa học và toán học đã dành nhiều thập kỷ để tranh luận về bản chất của vô cực, và đã biết trong hơn một thế kỷ rằng có nhiều hơn một loại. Ví dụ, một vô cực—loại mà hầu hết mọi người đều quen thuộc—là một tập hợp vô hạn các số tự nhiên: 1, 2, 3, v.v. Tuy nhiên, cũng có một tập hợp vô hạn các số thực , bao gồm các số âm và số thập phân. Tiếp tục theo dõi chuỗi suy nghĩ này, và bạn sẽ tạo ra một tập hợp vô hạn các vô cực.
Gần đây, các nhà toán học từ Đại học Công nghệ Vienna ở Áo và Đại học Barcelona đã phát hiện ra hai loại vô cực mới, được gọi là các số đếm chính xác và cực kỳ chính xác. Các vô cực này không hoàn toàn tuân theo thang vô cực chuẩn do các tính chất khác thường của chúng. Các nhà nghiên cứu đã trình bày chi tiết các tập hợp vô cực mới này trong một bài báo được công bố trên arXiv (arXiv là kho lưu trữ mở các bản in trước và sau in điện tử (gọi là bản in điện tử) được chấp thuận đăng sau khi kiểm duyệt nhưng chưa được bình duyệt ngang hàng).
“Mọi người đã đưa ra những khái niệm ngày càng lớn hơn về vô cực,” Juan Aguilera, đồng tác giả của bài báo từ Đại học Công nghệ Vienna, nói với New Scientist . “Bạn có thể xem xét tất cả những khái niệm trước đây mà mọi người đã đưa ra và bạn có thể xếp chúng vào một hệ thống phân cấp […] chúng không hoàn toàn phù hợp với hệ thống phân cấp tuyến tính này. Chúng tương tác rất, rất kỳ lạ với các khái niệm khác về vô cực.”
New Scientist mô tả những chú hồng y chính xác là những chú chim lớn đến mức chúng chứa đựng những bản sao của chính chúng—giống như một ngôi nhà có nhiều bản sao kích thước đầy đủ của chính nó bên trong. Những bản sao cực kỳ chính xác cũng bao gồm các quy tắc toán học về cách tạo ra chúng “như thể ngôi nhà lồng nhau cũng được dán giấy dán tường bằng bản thiết kế của chính nó”.
Tuy nhiên, mọi thứ trở nên kỳ lạ khi so sánh những vô cực mới này với một khái niệm cơ bản của toán học được gọi là Tiên đề Lựa chọn, nói rằng bạn có thể tạo ra một tập hợp số mới bằng cách chọn các số từ các tập hợp khác. Điều này chia vô cực thành ba loại: vô cực tuân theo lý thuyết tập hợp này (tập hợp số tự nhiên, tập hợp số nguyên, v.v.), vô cực lớn đến mức về cơ bản là toán học hỗn loạn và vô cực tồn tại ở đâu đó ở giữa. Mặc dù các nhà nghiên cứu nghĩ rằng các số chính xác và cực kỳ chính xác phù hợp với vùng ở giữa này, nhưng họ không thể xác định chính xác chúng.
Aguilera nói với New Scientist rằng: "Không rõ liệu chúng có nằm ở đỉnh của vùng giữa này hay không, nơi các tiên đề vẫn tương thích với tất cả các tiên đề khác của lý thuyết tập hợp, hay liệu chúng có đang hình thành một vùng thứ tư nằm bên cạnh vùng hỗn loạn nhưng nằm trên các vùng trước đó hay không" .
Điều này có thể mâu thuẫn với một ý tưởng được gọi là Hereditarily Ordinal Definable, lý thuyết này cho rằng vô cực có thể lớn đến mức Tiên đề Lựa chọn áp đặt trật tự thay vì mâu thuẫn . Nhưng những hồng y này hiện dường như thách thức giả định đó.
Tất nhiên, những vô cực này vẫn chưa được cộng đồng toán học rộng rãi chấp nhận. Nhưng bất kể khả năng xác nhận của chúng, có vẻ như việc suy ngẫm về vô cực sẽ không sớm chậm lại .
Các nhà khoa học và toán học đã dành nhiều thập kỷ để tranh luận về bản chất của vô cực, và đã biết trong hơn một thế kỷ rằng có nhiều hơn một loại. Ví dụ, một vô cực—loại mà hầu hết mọi người đều quen thuộc—là một tập hợp vô hạn các số tự nhiên: 1, 2, 3, v.v. Tuy nhiên, cũng có một tập hợp vô hạn các số thực , bao gồm các số âm và số thập phân. Tiếp tục theo dõi chuỗi suy nghĩ này, và bạn sẽ tạo ra một tập hợp vô hạn các vô cực.
Gần đây, các nhà toán học từ Đại học Công nghệ Vienna ở Áo và Đại học Barcelona đã phát hiện ra hai loại vô cực mới, được gọi là các số đếm chính xác và cực kỳ chính xác. Các vô cực này không hoàn toàn tuân theo thang vô cực chuẩn do các tính chất khác thường của chúng. Các nhà nghiên cứu đã trình bày chi tiết các tập hợp vô cực mới này trong một bài báo được công bố trên arXiv (arXiv là kho lưu trữ mở các bản in trước và sau in điện tử (gọi là bản in điện tử) được chấp thuận đăng sau khi kiểm duyệt nhưng chưa được bình duyệt ngang hàng).
“Mọi người đã đưa ra những khái niệm ngày càng lớn hơn về vô cực,” Juan Aguilera, đồng tác giả của bài báo từ Đại học Công nghệ Vienna, nói với New Scientist . “Bạn có thể xem xét tất cả những khái niệm trước đây mà mọi người đã đưa ra và bạn có thể xếp chúng vào một hệ thống phân cấp […] chúng không hoàn toàn phù hợp với hệ thống phân cấp tuyến tính này. Chúng tương tác rất, rất kỳ lạ với các khái niệm khác về vô cực.”
New Scientist mô tả những chú hồng y chính xác là những chú chim lớn đến mức chúng chứa đựng những bản sao của chính chúng—giống như một ngôi nhà có nhiều bản sao kích thước đầy đủ của chính nó bên trong. Những bản sao cực kỳ chính xác cũng bao gồm các quy tắc toán học về cách tạo ra chúng “như thể ngôi nhà lồng nhau cũng được dán giấy dán tường bằng bản thiết kế của chính nó”.
Tuy nhiên, mọi thứ trở nên kỳ lạ khi so sánh những vô cực mới này với một khái niệm cơ bản của toán học được gọi là Tiên đề Lựa chọn, nói rằng bạn có thể tạo ra một tập hợp số mới bằng cách chọn các số từ các tập hợp khác. Điều này chia vô cực thành ba loại: vô cực tuân theo lý thuyết tập hợp này (tập hợp số tự nhiên, tập hợp số nguyên, v.v.), vô cực lớn đến mức về cơ bản là toán học hỗn loạn và vô cực tồn tại ở đâu đó ở giữa. Mặc dù các nhà nghiên cứu nghĩ rằng các số chính xác và cực kỳ chính xác phù hợp với vùng ở giữa này, nhưng họ không thể xác định chính xác chúng.
Aguilera nói với New Scientist rằng: "Không rõ liệu chúng có nằm ở đỉnh của vùng giữa này hay không, nơi các tiên đề vẫn tương thích với tất cả các tiên đề khác của lý thuyết tập hợp, hay liệu chúng có đang hình thành một vùng thứ tư nằm bên cạnh vùng hỗn loạn nhưng nằm trên các vùng trước đó hay không" .
Điều này có thể mâu thuẫn với một ý tưởng được gọi là Hereditarily Ordinal Definable, lý thuyết này cho rằng vô cực có thể lớn đến mức Tiên đề Lựa chọn áp đặt trật tự thay vì mâu thuẫn . Nhưng những hồng y này hiện dường như thách thức giả định đó.
Tất nhiên, những vô cực này vẫn chưa được cộng đồng toán học rộng rãi chấp nhận. Nhưng bất kể khả năng xác nhận của chúng, có vẻ như việc suy ngẫm về vô cực sẽ không sớm chậm lại .
