Toán học là nghiên cứu về các mô hình. Trong khi tất cả các mô hình có xu hướng tuân theo các quy tắc logic chặt chẽ, chỉ một số ít trong số chúng thúc đẩy sự sáng tạo. Đối với tôi, thật vô lý khi một phương trình một inch duy nhất có thể chiếm hữu bàn tay bạn trong giây lát và dẫn bạn đến việc vẽ ra những hình ảnh tinh tế nhất. Thật đáng chú ý khi những hình ảnh phức tạp này có thể được thu gọn thành ba ký hiệu và hai đường thẳng song song. Tôi sử dụng thuật ngữ chiếm hữu bởi vì, trong khoảnh khắc này, chúng ta mù quáng làm theo những gì các phương trình ra lệnh, và tin tưởng vào lời tiên tri, chúng ta bắt đầu đánh dấu các dấu chấm, mà lúc đầu có vẻ không thể kết nối được.
Tuy nhiên, chúng ta vẫn tiếp tục chấp nhận. Các công cụ kêu leng keng và chiếc thước kẻ đáng ghét từ chối nhấc lên cho đến khi ấn tượng trên giấy về cơ bản là một tập hợp các chấm vô hạn; các chấm đen do bút chì để lại và các chấm trắng do compa đục. Các chấm vô hạn tự mở khóa nhanh chóng và ngoan ngoãn căn chỉnh theo đúng như logic yêu cầu. Trong khi người theo chủ nghĩa tối giản thích thú với một vòng tròn, thì người theo chủ nghĩa trừu tượng thích thú với một khối đa diện.
Sau đó là các mẫu số, một chuỗi các con số lặp lại theo chu kỳ. Con người vốn là sinh vật tìm kiếm mẫu. Trên thực tế, chúng ta rất giỏi trong việc kết nối các dấu chấm đến mức các mẫu này không chỉ giới hạn ở các dấu chấm mà còn mở rộng ra các bối cảnh. Sự xuất hiện của một mẫu hoặc hình ảnh với một tệ nạn hoặc một đức tính tương quan với sự xuất hiện của cả hai. Chúng là động lực thúc đẩy các giáo phái trong vô số xã hội.
Biểu tượng Illuminati & tín hiệu Wow!
Có một yếu tố đạo đức mà mọi người từ lâu đã liên kết với một số nhân vật và nhóm nhất định, chẳng hạn như Illuminati . Mặt khác, các nhà khoa học và toán học thích liên kết một dạng bí ẩn trí tuệ với các mô hình như vậy. Hãy xem xét tín hiệu Wow!, một mô hình chữ cái được nhận bất ngờ giữa các con số bởi kính viễn vọng vô tuyến Big Ear của Ohio, ám chỉ đến hoạt động ngoài trái đất.
Tuy nhiên, cũng tồn tại một mô hình các con số không chỉ gợi lên sự bí ẩn mà còn cả sự thiêng liêng , vì nó xuất hiện ở những nơi mà người ta không bao giờ ngờ tới. Hãy xem xét mô hình này — 13-3-2-21-1-1-8-5 — được vẽ bởi người quản lý bảo tàng bị sát hại Jacques Saunière như một gợi ý cho Tom Hanks trong The Da Vinci Code.
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…610,987,1597…
Chúng ta có thể tìm bất kỳ chữ số thứ n nào trong chuỗi bằng cách sử dụng biểu thức này:
Fibonacci được biết đến là nhà toán học phương Tây tài năng nhất thời Trung cổ. Ban đầu sinh ra với tên Leonardo Pisano, cái tên Fibonacci được đặt ra bởi một nhà sử học người Pháp. Cái tên này, hiện khá phổ biến trong mọi gia đình, là viết tắt của “Fillius Bonacci”, có nghĩa là “con trai của Bonaccio”, trong đó Bonaccio ám chỉ đến cha mình.
Leonardo Pisano, thường được gọi là Fibonacci.
Fibonacci vô cùng say mê toán học Ấn Độ-Ả Rập. Người châu Âu vào thời điểm đó vẫn tiếp tục sử dụng bộ số La Mã rộng lớn, trong khi người Ấn Độ và người Ả Rập đã tận hưởng những ưu điểm của hệ thống số Ấn Độ-Ả Rập — số cơ số 10 từ 0-9 — qua nhiều thế hệ. Ông quyết định mang những ý tưởng này đến châu Âu bằng cách xuất bản chúng trong tác phẩm được tôn kính của mình là Liber Abaci.
Cuốn sách đã trở thành một huyền thoại. Tuy nhiên, sự nổi tiếng của nó cuối cùng đã giảm xuống chỉ còn hai đóng góp: thứ nhất, hệ thống số, mà nếu không có nó thì sự tiến bộ của toán học hiện đại sẽ không thể thực hiện được; và thứ hai, một bài toán giả định, không thực tế về việc nhân giống thỏ. Các số Fibonacci đầu tiên được đưa ra như là lời giải cho bài toán này.
Hãy xem xét các Chu kỳ Pisano bắt nguồn từ dãy số Fibonacci. Chu kỳ Pisano, được đặt theo tên của chính Fibonacci, là một tập hợp các số tự lặp lại theo chu kỳ. Các số là phần dư thu được từ phép chia các số Fibonacci và một số thực dương.
Người ta có thể chia chuỗi với bất kỳ số nào để có được một mô hình tuần hoàn như vậy. Ví dụ, khi các số được chia cho 7, một chu kỳ gồm 16 số sẽ xuất hiện. Tương tự, độ dài của chu kỳ là 20 khi số chia là 5. Ngay cả khi chia cho 1/3 cũng tạo ra một băng dài các đoạn lặp lại, giống hệt nhau. Tuy nhiên, các nhà toán học vẫn chưa khám phá ra một công thức chung nào có thể dự đoán độ dài của một chu kỳ khi chuỗi được chia cho một số cụ thể.
Một sự bối rối dữ dội khác là các tam giác vuông vô hạn ẩn trong chuỗi. Bắt đầu từ 5, mỗi số thứ hai trong chuỗi là cạnh huyền của một tam giác vuông có cạnh dài hơn là tổng của tất cả các cạnh của tam giác trước đó và cạnh ngắn hơn là hiệu số giữa số bị bỏ qua và cạnh ngắn hơn của tam giác trước đó. Một lời giải thích bằng hình ảnh sẽ giúp hiểu rõ hơn về các tam giác này.
Tính hữu ích của toán học trừu tượng là lập luận chính trong cuộc tranh luận đặt câu hỏi liệu toán học được phát minh hay khám phá. Có những lý thuyết minh họa cho trình độ cao nhất của thiên tài toán học và sự nghiêm ngặt nhưng lại hoàn toàn tách biệt khỏi thế giới thực. Ví dụ, Newton đã phát minh ra phép tính vi phân đặc biệt để xác định phương trình quỹ đạo mà Trái đất đang đi quanh Mặt trời. Tất nhiên, phép tính vi phân cũng có lợi nhuận trong vô số lĩnh vực khác, nhưng chúng ta có thể nói điều tương tự về Giả thuyết của Riemann không?
Tuy nhiên, có những trường hợp hiếm hoi mà toán học trừu tượng cực kỳ khó hiểu trở nên có thể áp dụng. Ví dụ, Riemann đã phát triển các khái niệm phi lý của mình về hình học cong vào những năm 1850, dường như không thể áp dụng cho đến khi Einstein sử dụng chúng để khám phá lại các định luật hấp dẫn trong Thuyết tương đối rộng của ông. Tính không thể đoán trước của những cuộc hôn nhân toán học này vẫn làm chúng ta bối rối.
Đây cũng là trường hợp của bản chất huyền bí của dãy số Fibonacci. Mặc dù được phát hiện vào thời Trung cổ, dãy số này đã được phát hiện và tái phát hiện, khiến mọi người đều ngạc nhiên, ở những nơi mà chúng ta không bao giờ ngờ tới. Sự say mê của chúng ta với dãy số Fibonacci mở rộng đến mức có hẳn một tạp chí dành riêng cho những đặc điểm kỳ lạ của dãy số này, được gọi là Fibonacci Quarterly.
Hãy xem xét tam giác Pascal. Khi Pascal được một người chơi cờ bạc tham khảo về tỷ lệ cược của kết quả của một con xúc xắc và bản chất của tiền cược, ông đã phát minh ra lý thuyết xác suất để giải quyết những vấn đề này. Tam giác Pascal là một tam giác gọn gàng được tạo thành bởi các hệ số nhị thức. Tam giác hoạt động như một bảng mà người ta tham chiếu khi khai triển phương trình nhị thức.
Tuy nhiên, nếu bạn vẽ các đường chéo di chuyển xuống tam giác và cộng các số nằm trên mỗi đường chéo riêng lẻ, thì chuỗi số tương ứng với mỗi đường chéo biểu diễn, như bạn có thể đoán, các số Fibonacci. Lý thuyết xác suất được thành lập 400 năm sau khi Liber Abaci được xuất bản.
Hoặc, hãy xem xét tập hợp Mandelbrot, một hàm toán học có thể được giới hạn bằng một sơ đồ đẹp được vẽ trên mặt phẳng phức. Sơ đồ có vẻ như là một chiếc lá hình trái tim với những nụ nhỏ ở rìa. Những nụ này được bao phủ bởi những chiếc gai cực kỳ mỏng. Sơ đồ biểu diễn một fractal , một cấu trúc mà mọi phần riêng lẻ đều được tạo thành từ chính nó. Điều đó có nghĩa là nếu bạn tiếp tục phóng to nó, bạn sẽ thấy rằng cấu trúc này lặp lại trong một vòng lặp vô hạn.
Biểu đồ tập hợp Mandelbrot.
Khi chúng ta phóng to các chồi ở rìa, chúng ta thấy chồi mở rộng thành lá ban đầu và ba chồi mới mọc ra ở rìa của nó. Nếu một người tiếp tục phóng to, anh ta sẽ chứng kiến quá trình này cứ tiếp diễn mãi mãi. Tuy nhiên, khi chúng ta nhìn sâu hơn và sâu hơn, chúng ta thấy rằng số lượng gai trên mỗi chồi mới tăng lên. Sự gia tăng về số lượng mô phỏng một mô hình nhất định; đó là chuỗi Fibonacci! Ai có thể dự đoán được điều này?
Trình tự này cũng xuất hiện trong kinh tế học và trong việc theo dõi phả hệ của ong đực. Nó được sử dụng rộng rãi trong khoa học máy tính, nơi nó được sử dụng để tạo ra các số ngẫu nhiên có thể nhận biết được bằng các thuật toán được gọi là Trình tạo số giả ngẫu nhiên. Tôi sử dụng perivably vì các số được tạo ra không thực sự ngẫu nhiên; chúng luôn phụ thuộc vào một đầu vào trước đó.
Nó cũng được sử dụng trong các thuật toán sắp xếp trong đó chia diện tích thành các tỷ lệ là hai số Fibonacci liên tiếp, chứ không phải hai phần bằng nhau. Điều này làm cho việc săn tìm một vị trí trở thành các phép toán đơn giản nhất — phép cộng và phép trừ. Trong khi đó, sắp xếp nhị phân (chia thành hai phần bằng nhau) đòi hỏi phải sử dụng phép nhân, phép chia và dịch chuyển bit. Trình tự cũng được sử dụng để suy ra nhiều bản sắc toán học quan trọng khác. Tuy nhiên, ứng dụng quan trọng nhất của nó được tìm thấy trong các khu vườn của chúng ta.
Đền Parthenon.
Người Hy Lạp cuối cùng đã khám phá ra bản chất này. Theo họ, cách đẹp nhất để chia một đường thẳng thành hai phần là chia chúng theo tỷ lệ sao cho phần dài hơn chia cho phần ngắn hơn bằng tổng thể chia cho phần dài hơn. Họ gọi đây là Tỷ lệ vàng và giá trị của nó là 1,618…
Do đó, họ đã dựa nghệ thuật và kiến trúc của mình vào tỷ lệ này. Một ví dụ là kiến trúc của Đền Parthenon, có các mặt theo Tỷ lệ vàng . Ngay cả các nghệ sĩ thời Phục hưng cũng thông đồng với nhau về việc sử dụng tỷ lệ này. Rất nhiều tác phẩm nghệ thuật của họ dựa vào tỷ lệ này để khuếch đại sức hấp dẫn thẩm mỹ của nó.
Tỷ lệ quý giá này có liên quan gì đến dãy số Fibonacci? Kepler đã từng nhận xét rằng “như 5 so với 8 thì 8 so với 13, thực tế là như vậy, và như 8 so với 13 thì 13 so với 21 cũng gần như vậy”. Tỷ lệ của hai dãy số Fibonacci liên tiếp gần bằng *tiếng vỗ tay chậm rãi* tỷ lệ vàng! Điều này liên kết dãy số Fibonacci với một trong những đường xoắn ốc được biết đến nhiều nhất trên Internet.
Bình phương của số Fibonacci có thể được viết như sau:
1,1,4,9,25,64,169,441…
Không có gì bí ẩn sao? Chúng ta hãy cộng một số điều lại với nhau:
1+1+4 = 6
1+1+4+9 = 15
1+1+4+9+25 = 40
Nhìn kỹ hơn và bạn sẽ thấy rằng 6 là tích của 2 và 3, 15 là tích của 3 và 5, và 40 là tích của 5 và 8. Mối quan hệ vợ chồng giữa các số Fibonacci và tỷ lệ vàng trở nên rõ ràng — hai số tạo nên các tích này là các số Fibonacci liên tiếp! Bây giờ, chúng ta hãy thực hiện phép tính tổng trên theo hình ảnh. Mỗi số bình phương có thể được biểu diễn bằng một hình vuông có cạnh bằng số đơn vị đang được bình phương.
Vì vậy, bình phương của một được biểu diễn bằng một hình vuông có cạnh một đơn vị. Hình vuông này sau đó được thêm vào hình vuông tiếp theo trong chuỗi — một hình vuông khác có cạnh một đơn vị. Tiếp theo, hình chữ nhật 1×2 được thêm vào một hình vuông có cạnh hai đơn vị, sau đó được thêm vào một hình vuông có cạnh ba đơn vị, v.v. Chúng ta nhận ra rằng các tích thực sự là diện tích của các hình chữ nhật mới nổi này.
Vì các tích là các số Fibonacci liên tiếp, nên ta có thể thấy rằng tỷ lệ của hai cạnh của bất kỳ hình chữ nhật đơn nào cũng là tỷ lệ vàng! Khi số tổng tiến tới vô cực, tỷ lệ các cạnh của hình chữ nhật đang phát triển sẽ tiến tới giá trị chính xác của tỷ lệ. Một đường cong phát ra từ tâm và đi qua mọi góc của hình vuông dần dần phát triển thành một hình xoắn ốc – hình xoắn ốc vàng , lệch đều theo một góc gọi là góc vàng.
Hình xoắn ốc vàng trong vỏ ốc anh vũ (Nautilus Cutaway Logarithmic Spiral) và quả thông.
Vòng xoắn vàng có thể được tìm thấy ở vô số nơi trong tự nhiên, từ hình dạng của thiên hà của chúng ta đến vỏ ốc anh vũ. Nó chi phối sự sắp xếp của các quả thông và quả của một quả dứa. Tôi thích nhất là sự xuất hiện của nó trong sự sắp xếp các hạt lộn xộn ở giữa một bông hoa hướng dương. Tuy nhiên, sử dụng thuật ngữ "lộn xộn" sẽ là vô liêm sỉ khi bỏ qua mức độ nghiêm ngặt mà thiên nhiên đã dành ra để sắp xếp những hạt giống này.
Các hạt giống không được sắp xếp giống như nan hoa của bánh xe; chúng dần dần đi ra ngoài. Góc đi ra ngoài là góc vàng. Có vẻ như thiên nhiên đã tự nguyện lựa chọn tỷ lệ này vì việc chia vòng tròn cho một số vô tỷ khiến không có hạt giống nào có một hạt giống lân cận ở cùng một góc với tâm. Điều này dẫn đến việc đóng gói cực kỳ hiệu quả, hầu như không để lại chỗ cho không gian âm. Bạn hỏi số lượng xoắn ốc là bao nhiêu? 55 theo một hướng, 89 theo hướng khác. Cả hai đều là số Fibonacci, tất nhiên rồi!
Akash Peshin
Kỹ sư Điện tử của Đại học Mumbai, Ấn Độ
Tuy nhiên, chúng ta vẫn tiếp tục chấp nhận. Các công cụ kêu leng keng và chiếc thước kẻ đáng ghét từ chối nhấc lên cho đến khi ấn tượng trên giấy về cơ bản là một tập hợp các chấm vô hạn; các chấm đen do bút chì để lại và các chấm trắng do compa đục. Các chấm vô hạn tự mở khóa nhanh chóng và ngoan ngoãn căn chỉnh theo đúng như logic yêu cầu. Trong khi người theo chủ nghĩa tối giản thích thú với một vòng tròn, thì người theo chủ nghĩa trừu tượng thích thú với một khối đa diện.
Sau đó là các mẫu số, một chuỗi các con số lặp lại theo chu kỳ. Con người vốn là sinh vật tìm kiếm mẫu. Trên thực tế, chúng ta rất giỏi trong việc kết nối các dấu chấm đến mức các mẫu này không chỉ giới hạn ở các dấu chấm mà còn mở rộng ra các bối cảnh. Sự xuất hiện của một mẫu hoặc hình ảnh với một tệ nạn hoặc một đức tính tương quan với sự xuất hiện của cả hai. Chúng là động lực thúc đẩy các giáo phái trong vô số xã hội.
Biểu tượng Illuminati & tín hiệu Wow!
Có một yếu tố đạo đức mà mọi người từ lâu đã liên kết với một số nhân vật và nhóm nhất định, chẳng hạn như Illuminati . Mặt khác, các nhà khoa học và toán học thích liên kết một dạng bí ẩn trí tuệ với các mô hình như vậy. Hãy xem xét tín hiệu Wow!, một mô hình chữ cái được nhận bất ngờ giữa các con số bởi kính viễn vọng vô tuyến Big Ear của Ohio, ám chỉ đến hoạt động ngoài trái đất.
Tuy nhiên, cũng tồn tại một mô hình các con số không chỉ gợi lên sự bí ẩn mà còn cả sự thiêng liêng , vì nó xuất hiện ở những nơi mà người ta không bao giờ ngờ tới. Hãy xem xét mô hình này — 13-3-2-21-1-1-8-5 — được vẽ bởi người quản lý bảo tàng bị sát hại Jacques Saunière như một gợi ý cho Tom Hanks trong The Da Vinci Code.
Số Fibonacci là gì?
Gợi ý là một phần nhỏ, lộn xộn của các con số từ dãy số Fibonacci. Sự thiêng liêng xuất phát từ việc những con số này vô hại nhưng lại có sức ảnh hưởng như thế nào. Một con số mới trong mẫu có thể được tạo ra chỉ bằng cách cộng hai con số trước đó. Bắt đầu từ 0 và 1 (Fibonacci ban đầu liệt kê chúng bắt đầu từ 1 và 1, nhưng các nhà toán học hiện đại thích 0 và 1), chúng ta có:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…610,987,1597…
Chúng ta có thể tìm bất kỳ chữ số thứ n nào trong chuỗi bằng cách sử dụng biểu thức này:
Fibonacci được biết đến là nhà toán học phương Tây tài năng nhất thời Trung cổ. Ban đầu sinh ra với tên Leonardo Pisano, cái tên Fibonacci được đặt ra bởi một nhà sử học người Pháp. Cái tên này, hiện khá phổ biến trong mọi gia đình, là viết tắt của “Fillius Bonacci”, có nghĩa là “con trai của Bonaccio”, trong đó Bonaccio ám chỉ đến cha mình.
Leonardo Pisano, thường được gọi là Fibonacci.
Fibonacci vô cùng say mê toán học Ấn Độ-Ả Rập. Người châu Âu vào thời điểm đó vẫn tiếp tục sử dụng bộ số La Mã rộng lớn, trong khi người Ấn Độ và người Ả Rập đã tận hưởng những ưu điểm của hệ thống số Ấn Độ-Ả Rập — số cơ số 10 từ 0-9 — qua nhiều thế hệ. Ông quyết định mang những ý tưởng này đến châu Âu bằng cách xuất bản chúng trong tác phẩm được tôn kính của mình là Liber Abaci.
Cuốn sách đã trở thành một huyền thoại. Tuy nhiên, sự nổi tiếng của nó cuối cùng đã giảm xuống chỉ còn hai đóng góp: thứ nhất, hệ thống số, mà nếu không có nó thì sự tiến bộ của toán học hiện đại sẽ không thể thực hiện được; và thứ hai, một bài toán giả định, không thực tế về việc nhân giống thỏ. Các số Fibonacci đầu tiên được đưa ra như là lời giải cho bài toán này.
Bí ẩn của dãy số Fibonacci
Tuy nhiên, có vẻ như có sự không nhất quán trong toán học trừu tượng. Làm toán học trừu tượng cũng giống như đếm các hình tam giác trong Bảo tàng Louvre. Chắc chắn, làm thì vui, nhưng liệu có ích gì không? Tuy nhiên, bản chất của chúng ta là điều tra. Khuynh hướng tạo mẫu, dù là về mặt toán học hay hành vi, không thể bị bỏ qua. Bất kể sự vô ích của nó, sự say mê của chúng ta với các mẫu đủ sức thuyết phục để tìm kiếm chúng.Hãy xem xét các Chu kỳ Pisano bắt nguồn từ dãy số Fibonacci. Chu kỳ Pisano, được đặt theo tên của chính Fibonacci, là một tập hợp các số tự lặp lại theo chu kỳ. Các số là phần dư thu được từ phép chia các số Fibonacci và một số thực dương.
Người ta có thể chia chuỗi với bất kỳ số nào để có được một mô hình tuần hoàn như vậy. Ví dụ, khi các số được chia cho 7, một chu kỳ gồm 16 số sẽ xuất hiện. Tương tự, độ dài của chu kỳ là 20 khi số chia là 5. Ngay cả khi chia cho 1/3 cũng tạo ra một băng dài các đoạn lặp lại, giống hệt nhau. Tuy nhiên, các nhà toán học vẫn chưa khám phá ra một công thức chung nào có thể dự đoán độ dài của một chu kỳ khi chuỗi được chia cho một số cụ thể.
Một sự bối rối dữ dội khác là các tam giác vuông vô hạn ẩn trong chuỗi. Bắt đầu từ 5, mỗi số thứ hai trong chuỗi là cạnh huyền của một tam giác vuông có cạnh dài hơn là tổng của tất cả các cạnh của tam giác trước đó và cạnh ngắn hơn là hiệu số giữa số bị bỏ qua và cạnh ngắn hơn của tam giác trước đó. Một lời giải thích bằng hình ảnh sẽ giúp hiểu rõ hơn về các tam giác này.
Tính hữu ích của toán học trừu tượng là lập luận chính trong cuộc tranh luận đặt câu hỏi liệu toán học được phát minh hay khám phá. Có những lý thuyết minh họa cho trình độ cao nhất của thiên tài toán học và sự nghiêm ngặt nhưng lại hoàn toàn tách biệt khỏi thế giới thực. Ví dụ, Newton đã phát minh ra phép tính vi phân đặc biệt để xác định phương trình quỹ đạo mà Trái đất đang đi quanh Mặt trời. Tất nhiên, phép tính vi phân cũng có lợi nhuận trong vô số lĩnh vực khác, nhưng chúng ta có thể nói điều tương tự về Giả thuyết của Riemann không?
Tuy nhiên, có những trường hợp hiếm hoi mà toán học trừu tượng cực kỳ khó hiểu trở nên có thể áp dụng. Ví dụ, Riemann đã phát triển các khái niệm phi lý của mình về hình học cong vào những năm 1850, dường như không thể áp dụng cho đến khi Einstein sử dụng chúng để khám phá lại các định luật hấp dẫn trong Thuyết tương đối rộng của ông. Tính không thể đoán trước của những cuộc hôn nhân toán học này vẫn làm chúng ta bối rối.
Đây cũng là trường hợp của bản chất huyền bí của dãy số Fibonacci. Mặc dù được phát hiện vào thời Trung cổ, dãy số này đã được phát hiện và tái phát hiện, khiến mọi người đều ngạc nhiên, ở những nơi mà chúng ta không bao giờ ngờ tới. Sự say mê của chúng ta với dãy số Fibonacci mở rộng đến mức có hẳn một tạp chí dành riêng cho những đặc điểm kỳ lạ của dãy số này, được gọi là Fibonacci Quarterly.
Hãy xem xét tam giác Pascal. Khi Pascal được một người chơi cờ bạc tham khảo về tỷ lệ cược của kết quả của một con xúc xắc và bản chất của tiền cược, ông đã phát minh ra lý thuyết xác suất để giải quyết những vấn đề này. Tam giác Pascal là một tam giác gọn gàng được tạo thành bởi các hệ số nhị thức. Tam giác hoạt động như một bảng mà người ta tham chiếu khi khai triển phương trình nhị thức.
Tuy nhiên, nếu bạn vẽ các đường chéo di chuyển xuống tam giác và cộng các số nằm trên mỗi đường chéo riêng lẻ, thì chuỗi số tương ứng với mỗi đường chéo biểu diễn, như bạn có thể đoán, các số Fibonacci. Lý thuyết xác suất được thành lập 400 năm sau khi Liber Abaci được xuất bản.
Hoặc, hãy xem xét tập hợp Mandelbrot, một hàm toán học có thể được giới hạn bằng một sơ đồ đẹp được vẽ trên mặt phẳng phức. Sơ đồ có vẻ như là một chiếc lá hình trái tim với những nụ nhỏ ở rìa. Những nụ này được bao phủ bởi những chiếc gai cực kỳ mỏng. Sơ đồ biểu diễn một fractal , một cấu trúc mà mọi phần riêng lẻ đều được tạo thành từ chính nó. Điều đó có nghĩa là nếu bạn tiếp tục phóng to nó, bạn sẽ thấy rằng cấu trúc này lặp lại trong một vòng lặp vô hạn.
Biểu đồ tập hợp Mandelbrot.
Khi chúng ta phóng to các chồi ở rìa, chúng ta thấy chồi mở rộng thành lá ban đầu và ba chồi mới mọc ra ở rìa của nó. Nếu một người tiếp tục phóng to, anh ta sẽ chứng kiến quá trình này cứ tiếp diễn mãi mãi. Tuy nhiên, khi chúng ta nhìn sâu hơn và sâu hơn, chúng ta thấy rằng số lượng gai trên mỗi chồi mới tăng lên. Sự gia tăng về số lượng mô phỏng một mô hình nhất định; đó là chuỗi Fibonacci! Ai có thể dự đoán được điều này?
Trình tự này cũng xuất hiện trong kinh tế học và trong việc theo dõi phả hệ của ong đực. Nó được sử dụng rộng rãi trong khoa học máy tính, nơi nó được sử dụng để tạo ra các số ngẫu nhiên có thể nhận biết được bằng các thuật toán được gọi là Trình tạo số giả ngẫu nhiên. Tôi sử dụng perivably vì các số được tạo ra không thực sự ngẫu nhiên; chúng luôn phụ thuộc vào một đầu vào trước đó.
Nó cũng được sử dụng trong các thuật toán sắp xếp trong đó chia diện tích thành các tỷ lệ là hai số Fibonacci liên tiếp, chứ không phải hai phần bằng nhau. Điều này làm cho việc săn tìm một vị trí trở thành các phép toán đơn giản nhất — phép cộng và phép trừ. Trong khi đó, sắp xếp nhị phân (chia thành hai phần bằng nhau) đòi hỏi phải sử dụng phép nhân, phép chia và dịch chuyển bit. Trình tự cũng được sử dụng để suy ra nhiều bản sắc toán học quan trọng khác. Tuy nhiên, ứng dụng quan trọng nhất của nó được tìm thấy trong các khu vườn của chúng ta.
Đường xoắn ốc Fibonacci là gì?
Người Hy Lạp luôn tự hỏi liệu có tồn tại một mô tả thực tế về vẻ đẹp, một đặc tính hoặc bản chất bẩm sinh , như họ gọi, mà không để lại chỗ cho chủ quan. Ví dụ, một hình tam giác có thể được định nghĩa là bất kỳ vật thể ba cạnh nào trong đó tổng của cả ba góc tạo thành giữa các cạnh này phải cộng lại không quá hoặc không nhỏ hơn 180 độ. Sự phát triển của một cạnh khác giữa hai đỉnh, dù nhỏ đến đâu, cũng khiến vật thể không còn là một hình tam giác nữa. Liệu có thể có một tiêu chuẩn độc quyền tương tự để đánh giá vẻ đẹp của một bông hoa cúc không?
Đền Parthenon.
Người Hy Lạp cuối cùng đã khám phá ra bản chất này. Theo họ, cách đẹp nhất để chia một đường thẳng thành hai phần là chia chúng theo tỷ lệ sao cho phần dài hơn chia cho phần ngắn hơn bằng tổng thể chia cho phần dài hơn. Họ gọi đây là Tỷ lệ vàng và giá trị của nó là 1,618…
Do đó, họ đã dựa nghệ thuật và kiến trúc của mình vào tỷ lệ này. Một ví dụ là kiến trúc của Đền Parthenon, có các mặt theo Tỷ lệ vàng . Ngay cả các nghệ sĩ thời Phục hưng cũng thông đồng với nhau về việc sử dụng tỷ lệ này. Rất nhiều tác phẩm nghệ thuật của họ dựa vào tỷ lệ này để khuếch đại sức hấp dẫn thẩm mỹ của nó.
Tỷ lệ quý giá này có liên quan gì đến dãy số Fibonacci? Kepler đã từng nhận xét rằng “như 5 so với 8 thì 8 so với 13, thực tế là như vậy, và như 8 so với 13 thì 13 so với 21 cũng gần như vậy”. Tỷ lệ của hai dãy số Fibonacci liên tiếp gần bằng *tiếng vỗ tay chậm rãi* tỷ lệ vàng! Điều này liên kết dãy số Fibonacci với một trong những đường xoắn ốc được biết đến nhiều nhất trên Internet.
Bình phương của số Fibonacci có thể được viết như sau:
1,1,4,9,25,64,169,441…
Không có gì bí ẩn sao? Chúng ta hãy cộng một số điều lại với nhau:
1+1+4 = 6
1+1+4+9 = 15
1+1+4+9+25 = 40
Nhìn kỹ hơn và bạn sẽ thấy rằng 6 là tích của 2 và 3, 15 là tích của 3 và 5, và 40 là tích của 5 và 8. Mối quan hệ vợ chồng giữa các số Fibonacci và tỷ lệ vàng trở nên rõ ràng — hai số tạo nên các tích này là các số Fibonacci liên tiếp! Bây giờ, chúng ta hãy thực hiện phép tính tổng trên theo hình ảnh. Mỗi số bình phương có thể được biểu diễn bằng một hình vuông có cạnh bằng số đơn vị đang được bình phương.
Vì vậy, bình phương của một được biểu diễn bằng một hình vuông có cạnh một đơn vị. Hình vuông này sau đó được thêm vào hình vuông tiếp theo trong chuỗi — một hình vuông khác có cạnh một đơn vị. Tiếp theo, hình chữ nhật 1×2 được thêm vào một hình vuông có cạnh hai đơn vị, sau đó được thêm vào một hình vuông có cạnh ba đơn vị, v.v. Chúng ta nhận ra rằng các tích thực sự là diện tích của các hình chữ nhật mới nổi này.
Vì các tích là các số Fibonacci liên tiếp, nên ta có thể thấy rằng tỷ lệ của hai cạnh của bất kỳ hình chữ nhật đơn nào cũng là tỷ lệ vàng! Khi số tổng tiến tới vô cực, tỷ lệ các cạnh của hình chữ nhật đang phát triển sẽ tiến tới giá trị chính xác của tỷ lệ. Một đường cong phát ra từ tâm và đi qua mọi góc của hình vuông dần dần phát triển thành một hình xoắn ốc – hình xoắn ốc vàng , lệch đều theo một góc gọi là góc vàng.
Hình xoắn ốc vàng trong vỏ ốc anh vũ (Nautilus Cutaway Logarithmic Spiral) và quả thông.
Vòng xoắn vàng có thể được tìm thấy ở vô số nơi trong tự nhiên, từ hình dạng của thiên hà của chúng ta đến vỏ ốc anh vũ. Nó chi phối sự sắp xếp của các quả thông và quả của một quả dứa. Tôi thích nhất là sự xuất hiện của nó trong sự sắp xếp các hạt lộn xộn ở giữa một bông hoa hướng dương. Tuy nhiên, sử dụng thuật ngữ "lộn xộn" sẽ là vô liêm sỉ khi bỏ qua mức độ nghiêm ngặt mà thiên nhiên đã dành ra để sắp xếp những hạt giống này.
Các hạt giống không được sắp xếp giống như nan hoa của bánh xe; chúng dần dần đi ra ngoài. Góc đi ra ngoài là góc vàng. Có vẻ như thiên nhiên đã tự nguyện lựa chọn tỷ lệ này vì việc chia vòng tròn cho một số vô tỷ khiến không có hạt giống nào có một hạt giống lân cận ở cùng một góc với tâm. Điều này dẫn đến việc đóng gói cực kỳ hiệu quả, hầu như không để lại chỗ cho không gian âm. Bạn hỏi số lượng xoắn ốc là bao nhiêu? 55 theo một hướng, 89 theo hướng khác. Cả hai đều là số Fibonacci, tất nhiên rồi!
Akash Peshin
Kỹ sư Điện tử của Đại học Mumbai, Ấn Độ
