Hoàng Đức
Writer
1+1 bằng bao nhiêu? Dễ ợt – bằng 2.
2+3 bằng bao nhiêu? Ồ, hơi khó hơn một chút, nhưng vẫn làm được, bằng 5. Tiếp theo, 5+6 bằng bao nhiêu? Không còn ngón tay nào để đếm nữa, một bàn tay thứ ba sẽ cho bạn biết là 11. Tất cả đều ổn và tốt.
Bây giờ, nếu tôi yêu cầu bạn đếm vô số ngón tay được nối với vô số bàn tay, hoặc nếu không, tổng của tất cả các số nguyên dương 1+2+3+4… đến vô cực thì sao? Và nếu tôi chứng minh thành công rằng câu trả lời, và bạn có thể muốn ngồi xuống để nghe câu hỏi này… là -1/12 thì sao?
Làm sao tổng các số nguyên có thể là một phân số? Làm sao tổng các số dương có thể là một số âm? Bằng chứng đáng kinh ngạc và hoàn toàn không trực quan này đã từng được các nhà toán học ưu tú đưa ra, chẳng hạn như Srinivasa Ramanujan (1887-1920). Ông nhà toán học người Ấn Độ, nổi tiếng là người dù không được đào tạo bài bản về toán học thuần túy, ông đã có những đóng góp đáng kể cho giải tích toán học, lý thuyết số, chuỗi vô tận và các liên phân số.
Bằng chứng thường được tìm thấy trong Lý thuyết dây (là một thuyết hấp dẫn lượng tử, được xây dựng với mục đích thống nhất tất cả các hạt cơ bản cùng các lực cơ bản của tự nhiên, ngay cả lực hấp dẫn), một lý thuyết toán học cực kỳ độc ác và bí truyền, theo đó Vũ trụ tồn tại trong 26 chiều. Lý thuyết này là một ứng cử viên đầy hứa hẹn để được trao vương miện là Lý thuyết của mọi thứ . Vì vậy, nó phải đúng… phải không?
S(1) = 1-1+1-1+1-1+1…
Các hình elip ngụ ý rằng tổng mở rộng đến vô cực. Kết quả của tổng này phụ thuộc vào nơi chúng ta dừng cộng hoặc trừ các số 1. Nếu chúng ta dừng ở số 1 chẵn, tổng sẽ giảm xuống bằng không, trong khi khi chúng ta dừng ở số 1 lẻ, tổng bằng 1. Sự không chắc chắn này là nhiễu loạn. Chúng ta có thể loại bỏ nó bằng cách chỉ cần lấy trung bình của cả hai cực, là ½.
Tiếp theo, hãy xem xét hai tổng S(2) và S sau:
S(2) = 1-2+3-4+5-6…
S = 1+2+3+4+…
Bây giờ, thêm S(2) vào chính nó, nhưng với một chút thay đổi. Thêm S(2) khác bằng cách dịch chuyển các số một vị trí sang bên phải của chúng.
2S(2) = 1-2+3-4…
+ 1-2+3-4…
Phép tính này rõ ràng sẽ cho kết quả là chuỗi 1-1+1-1+1… tức là, nếu bạn chú ý, S(1), có giá trị, như chúng tôi đã trình bày ở trên, là ½. Vì vậy, 2S(2) là 1/2 sao cho giá trị của S(2) là ¼.
Tiếp theo, trừ S(2) khỏi S, ta được:
1+2+3+4+… – (1-2+3-4+…) = 0+4+0+8+0+12+0+16…
Cũng có thể viết là 4 lần (1+2+3+4…) hoặc 4S. Bây giờ, chúng ta đã có mũ, chúng ta chỉ cần chỉ và niệm chú.
Chúng tôi đã chứng minh rằng SS(2) = 4S, nhưng S(2) bằng ¼. Điều đó có nghĩa là -3S (hoán đổi S(2) và 4S) bằng ¼. Phép nhân đơn giản đặt quả anh đào lên trên cùng và kết luận rằng S = -1/12. Hoặc, 1+2+3+4… = -1/12!
Ông ấy nói thêm, "theo trực giác, bạn muốn dừng chuỗi, nhưng ngay khi bạn dừng nó lại..." ông ấy thả tay xuống, bắt chước một cú chặt karate, ra hiệu rằng nó sẽ không hiệu quả. Ngay cả khi cộng chuỗi thành một googolplex (10 lũy thừa 10, bản thân nó cũng được lũy thừa 100) cũng không cho kết quả là -1/12; nó nhất thiết phải được cộng đến vô cực.
Bằng chứng gây sửng sốt được minh họa bằng sự đơn giản gần như hiển nhiên đã giúp video thu hút gần 1,5 triệu lượt xem ngay trong tháng đầu tiên được công bố. Tuy nhiên, nó cũng gây ra sự phẫn nộ trong giới toán học, vì tiêu đề của nó có vẻ hiển nhiên và bằng chứng cũng bị bóp méo.
Vô cực đã làm đau đầu các nhà toán học từ thời xa xưa.
Toán học xử lý cái gọi là chuỗi vô hạn, một tổng kéo dài mãi mãi. Các tổng này có thể được nhóm thành ba loại – hội tụ, dao động và phân kỳ. Chuỗi hội tụ là tổng hội tụ đến một giá trị hữu hạn, chẳng hạn như 1/1+1/2+1/4+1/8+… hội tụ đến gần bằng 2. Chuỗi dao động là tổng có kết quả dao động giữa hai giá trị. Đây sẽ là chuỗi đầu tiên S(1) mà chúng ta gặp phải – 1-1+1-1+1-1…
Và cuối cùng, một chuỗi phân kỳ là một tổng phân kỳ dần dần đến một giá trị lớn hơn, không thể đo lường được, cụ thể là vô cực. Chuỗi 1+2+3+4+… là một tổng phân kỳ vì nó dần dần trở nên lớn hơn và lớn hơn cho đến khi đạt đến vô cực. Nếu đúng như vậy, hoặc ít nhất là về mặt logic có vẻ như vậy, thì Ed Copeland đã xoay xở thế nào để hội tụ nó, và thậm chí xa hơn nữa… đến một số âm , như thể bằng một phép thuật tinh tế nào đó?
Thuật ngữ thích hợp để định nghĩa video này là ma thuật tinh vi. Đây là một ảo ảnh mà các chi tiết thiết yếu được che giấu một cách khá khéo léo. Hãy xem xét chuỗi đầu tiên mà bằng chứng dường như xoay quanh — 1-1+1-1+1… Người kể chuyện ở đây đưa ra một giả định nhanh chóng rằng giá trị của tổng này có thể được tính trung bình thành ½. Không hoàn toàn sai, nhưng lại gây hiểu lầm nghiêm trọng.
Các nhà toán học như Euler than phiền về sự không chắc chắn của các tổng dao động và phân kỳ. Để loại bỏ điều đó, họ đã đưa ra một lập luận có thể định lượng chúng hoặc 'làm' chúng hội tụ. Phép thuật này bắt nguồn từ một nhánh toán học phức tạp được gọi là phép tiếp tục phân tích. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ đơn thuần chuyển đổi một tổng dao động hoặc phân kỳ thành một tổng khác biệt ít.
Điều này có nghĩa là chúng ta không còn cộng cùng một tổng nữa, mà là một tổng rất giống với tổng ban đầu. Hơn nữa, tổng mới không bằng, chẳng hạn như 1/2, theo nghĩa thông thường là bằng, mà nó ngụ ý rằng tổng được gán cho hoặc liên kết với giá trị ½. Đó là giá trị của chuỗi hội tụ yếu đã sửa đổi mà chúng ta gán cho chuỗi phân kỳ của mình. Vì vậy, giả định S(1) = ½ không tầm thường như tôi đã trình bày ở trên.
Tương tự như vậy, mọi tổng được sử dụng trong bằng chứng đều được 'hội tụ' một cách thuận tiện với sự trợ giúp của phương pháp này, ngay cả tổng cuối cùng – 1+2+3+4+… = -1/12. Tuy nhiên, phương pháp này có độ phức tạp cao hơn khi áp dụng vào nó.
Điều này ngụ ý rằng có một lượng năng lượng vô hạn đang sôi sục giữa các tấm, điều này rõ ràng là vô lý. Hoặc, xảy ra một "sự làm giảm", theo đó năng lượng trở nên hữu hạn. Sự làm giảm hoặc hội tụ tương tự như sự hội tụ đạt được bằng cách tiếp tục phân tích, được trình bày ở trên.
Ngay cả sách giáo khoa cũng không sử dụng rõ ràng dấu bằng, mà là mũi tên chỉ tổng về -1/12. “Giảm chấn” là sự thừa nhận thực tế rằng có một lực chưa biết đang tác động. Tất nhiên, tổng thực của tất cả các số tự nhiên không phải là một phân số âm.
Tác giả: Akash Peshin, Kỹ sư Điện tử của Đại học Mumbai, Ấn Độ
2+3 bằng bao nhiêu? Ồ, hơi khó hơn một chút, nhưng vẫn làm được, bằng 5. Tiếp theo, 5+6 bằng bao nhiêu? Không còn ngón tay nào để đếm nữa, một bàn tay thứ ba sẽ cho bạn biết là 11. Tất cả đều ổn và tốt.
Bây giờ, nếu tôi yêu cầu bạn đếm vô số ngón tay được nối với vô số bàn tay, hoặc nếu không, tổng của tất cả các số nguyên dương 1+2+3+4… đến vô cực thì sao? Và nếu tôi chứng minh thành công rằng câu trả lời, và bạn có thể muốn ngồi xuống để nghe câu hỏi này… là -1/12 thì sao?
Làm sao tổng các số nguyên có thể là một phân số? Làm sao tổng các số dương có thể là một số âm? Bằng chứng đáng kinh ngạc và hoàn toàn không trực quan này đã từng được các nhà toán học ưu tú đưa ra, chẳng hạn như Srinivasa Ramanujan (1887-1920). Ông nhà toán học người Ấn Độ, nổi tiếng là người dù không được đào tạo bài bản về toán học thuần túy, ông đã có những đóng góp đáng kể cho giải tích toán học, lý thuyết số, chuỗi vô tận và các liên phân số.
Bằng chứng thường được tìm thấy trong Lý thuyết dây (là một thuyết hấp dẫn lượng tử, được xây dựng với mục đích thống nhất tất cả các hạt cơ bản cùng các lực cơ bản của tự nhiên, ngay cả lực hấp dẫn), một lý thuyết toán học cực kỳ độc ác và bí truyền, theo đó Vũ trụ tồn tại trong 26 chiều. Lý thuyết này là một ứng cử viên đầy hứa hẹn để được trao vương miện là Lý thuyết của mọi thứ . Vì vậy, nó phải đúng… phải không?
Bằng chứng
Có nhiều cách để chứng minh điều này, nhưng tôi xin giới thiệu cách đơn giản nhất mà tôi đã tìm ra. Trước tiên hãy xem xét tổng S(1) của 1.S(1) = 1-1+1-1+1-1+1…
Các hình elip ngụ ý rằng tổng mở rộng đến vô cực. Kết quả của tổng này phụ thuộc vào nơi chúng ta dừng cộng hoặc trừ các số 1. Nếu chúng ta dừng ở số 1 chẵn, tổng sẽ giảm xuống bằng không, trong khi khi chúng ta dừng ở số 1 lẻ, tổng bằng 1. Sự không chắc chắn này là nhiễu loạn. Chúng ta có thể loại bỏ nó bằng cách chỉ cần lấy trung bình của cả hai cực, là ½.
Tiếp theo, hãy xem xét hai tổng S(2) và S sau:
S(2) = 1-2+3-4+5-6…
S = 1+2+3+4+…
Bây giờ, thêm S(2) vào chính nó, nhưng với một chút thay đổi. Thêm S(2) khác bằng cách dịch chuyển các số một vị trí sang bên phải của chúng.
2S(2) = 1-2+3-4…
+ 1-2+3-4…
Phép tính này rõ ràng sẽ cho kết quả là chuỗi 1-1+1-1+1… tức là, nếu bạn chú ý, S(1), có giá trị, như chúng tôi đã trình bày ở trên, là ½. Vì vậy, 2S(2) là 1/2 sao cho giá trị của S(2) là ¼.
Tiếp theo, trừ S(2) khỏi S, ta được:
1+2+3+4+… – (1-2+3-4+…) = 0+4+0+8+0+12+0+16…
Cũng có thể viết là 4 lần (1+2+3+4…) hoặc 4S. Bây giờ, chúng ta đã có mũ, chúng ta chỉ cần chỉ và niệm chú.
Chúng tôi đã chứng minh rằng SS(2) = 4S, nhưng S(2) bằng ¼. Điều đó có nghĩa là -3S (hoán đổi S(2) và 4S) bằng ¼. Phép nhân đơn giản đặt quả anh đào lên trên cùng và kết luận rằng S = -1/12. Hoặc, 1+2+3+4… = -1/12!
Làm sao điều này có thể xảy ra?
Bằng chứng được nêu trong một video do kênh YouTube Numberphile (bạn google sẽ ra ngay) đăng tải với tiêu đề khoa trương là ASTOUNDING: 1+2+3+4+5+ … = -1/12. Nhà vật lý Edmund Copeland, người chứng minh điều này trong video, sau khi hoàn thành kỳ tích, đã vui sướng thừa nhận rằng "nó trông giống như trò ảo thuật toán học".Ông ấy nói thêm, "theo trực giác, bạn muốn dừng chuỗi, nhưng ngay khi bạn dừng nó lại..." ông ấy thả tay xuống, bắt chước một cú chặt karate, ra hiệu rằng nó sẽ không hiệu quả. Ngay cả khi cộng chuỗi thành một googolplex (10 lũy thừa 10, bản thân nó cũng được lũy thừa 100) cũng không cho kết quả là -1/12; nó nhất thiết phải được cộng đến vô cực.
Bằng chứng gây sửng sốt được minh họa bằng sự đơn giản gần như hiển nhiên đã giúp video thu hút gần 1,5 triệu lượt xem ngay trong tháng đầu tiên được công bố. Tuy nhiên, nó cũng gây ra sự phẫn nộ trong giới toán học, vì tiêu đề của nó có vẻ hiển nhiên và bằng chứng cũng bị bóp méo.
Vô cực đã làm đau đầu các nhà toán học từ thời xa xưa.
Toán học xử lý cái gọi là chuỗi vô hạn, một tổng kéo dài mãi mãi. Các tổng này có thể được nhóm thành ba loại – hội tụ, dao động và phân kỳ. Chuỗi hội tụ là tổng hội tụ đến một giá trị hữu hạn, chẳng hạn như 1/1+1/2+1/4+1/8+… hội tụ đến gần bằng 2. Chuỗi dao động là tổng có kết quả dao động giữa hai giá trị. Đây sẽ là chuỗi đầu tiên S(1) mà chúng ta gặp phải – 1-1+1-1+1-1…
Và cuối cùng, một chuỗi phân kỳ là một tổng phân kỳ dần dần đến một giá trị lớn hơn, không thể đo lường được, cụ thể là vô cực. Chuỗi 1+2+3+4+… là một tổng phân kỳ vì nó dần dần trở nên lớn hơn và lớn hơn cho đến khi đạt đến vô cực. Nếu đúng như vậy, hoặc ít nhất là về mặt logic có vẻ như vậy, thì Ed Copeland đã xoay xở thế nào để hội tụ nó, và thậm chí xa hơn nữa… đến một số âm , như thể bằng một phép thuật tinh tế nào đó?
Thuật ngữ thích hợp để định nghĩa video này là ma thuật tinh vi. Đây là một ảo ảnh mà các chi tiết thiết yếu được che giấu một cách khá khéo léo. Hãy xem xét chuỗi đầu tiên mà bằng chứng dường như xoay quanh — 1-1+1-1+1… Người kể chuyện ở đây đưa ra một giả định nhanh chóng rằng giá trị của tổng này có thể được tính trung bình thành ½. Không hoàn toàn sai, nhưng lại gây hiểu lầm nghiêm trọng.
Các nhà toán học như Euler than phiền về sự không chắc chắn của các tổng dao động và phân kỳ. Để loại bỏ điều đó, họ đã đưa ra một lập luận có thể định lượng chúng hoặc 'làm' chúng hội tụ. Phép thuật này bắt nguồn từ một nhánh toán học phức tạp được gọi là phép tiếp tục phân tích. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ đơn thuần chuyển đổi một tổng dao động hoặc phân kỳ thành một tổng khác biệt ít.
Điều này có nghĩa là chúng ta không còn cộng cùng một tổng nữa, mà là một tổng rất giống với tổng ban đầu. Hơn nữa, tổng mới không bằng, chẳng hạn như 1/2, theo nghĩa thông thường là bằng, mà nó ngụ ý rằng tổng được gán cho hoặc liên kết với giá trị ½. Đó là giá trị của chuỗi hội tụ yếu đã sửa đổi mà chúng ta gán cho chuỗi phân kỳ của mình. Vì vậy, giả định S(1) = ½ không tầm thường như tôi đã trình bày ở trên.
Tương tự như vậy, mọi tổng được sử dụng trong bằng chứng đều được 'hội tụ' một cách thuận tiện với sự trợ giúp của phương pháp này, ngay cả tổng cuối cùng – 1+2+3+4+… = -1/12. Tuy nhiên, phương pháp này có độ phức tạp cao hơn khi áp dụng vào nó.
Vật lý
Nhưng còn về việc sử dụng bằng chứng trong Lý thuyết dây mà tôi đã đề cập trong phần mở đầu thì sao? Video phóng to một trang trong sách giáo khoa hai tập Lý thuyết dây của Joseph Polchinski, trong đó tổng được trích dẫn như một công thức. Trên thực tế, bằng chứng được sử dụng trong các bài toán vật lý, chẳng hạn như Hiệu ứng Casimir hoặc khi tính toán chiều của Vũ trụ trong Lý thuyết dây Bosonic. Tính thực tiễn của nó có làm cho nó khả thi không?Hiệu ứng Casimir
Hiệu ứng Casimir là một hiện tượng được quan sát thấy giữa hai tấm dẫn điện không tích điện. Theo đó, tồn tại một lực hấp dẫn giữa các tấm này do sự hiện diện của các hạt ảo được sinh ra bởi các dao động lượng tử ngẫu nhiên. Các bài toán như thế này thường dẫn đến các tổng phân kỳ. Trên thực tế, lời giải của hiệu ứng Casimir liên quan đến cùng một tổng 1+2+3+4+…Điều này ngụ ý rằng có một lượng năng lượng vô hạn đang sôi sục giữa các tấm, điều này rõ ràng là vô lý. Hoặc, xảy ra một "sự làm giảm", theo đó năng lượng trở nên hữu hạn. Sự làm giảm hoặc hội tụ tương tự như sự hội tụ đạt được bằng cách tiếp tục phân tích, được trình bày ở trên.
Ngay cả sách giáo khoa cũng không sử dụng rõ ràng dấu bằng, mà là mũi tên chỉ tổng về -1/12. “Giảm chấn” là sự thừa nhận thực tế rằng có một lực chưa biết đang tác động. Tất nhiên, tổng thực của tất cả các số tự nhiên không phải là một phân số âm.
Tác giả: Akash Peshin, Kỹ sư Điện tử của Đại học Mumbai, Ấn Độ
