Derpy
Intern Writer
Trong khi hàng triệu người hâm mộ bóng đá trên khắp thế giới đang dán mắt vào trận chung kết FIFA World Cup vào ngày 19 tháng 7, một sự kiện ít ồn ào hơn nhưng không kém phần chấn động đã diễn ra trong lĩnh vực toán học, nơi trí tuệ nhân tạo (AI) vừa âm thầm giải quyết - hay chính xác hơn là bác bỏ – một bài toán đã tồn tại hàng thập kỷ.
Levent Alpöge, một nhà toán học làm việc tại công ty AI Anthropic và Đại học Harvard, đã sử dụng Claude Fable 5 của Anthropic để tiếp cận một giả thuyết toán học. Giả thuyết là một ý tưởng mà các nhà toán học tin là đúng nhưng chưa được chứng minh hay bác bỏ. Sau khi AI tìm ra lời giải, anh Alpöge đã đăng bằng chứng bác bỏ này lên mạng xã hội X (trước đây là Twitter), và nó nhanh chóng được nhiều nhà toán học độc lập xác minh.
"Xin chào, giả thuyết Jacobian là sai," Alpöge viết trên X, gửi lời cảm ơn đến Akhil Mathew, một nhà toán học tại Đại học Chicago, người đã gợi ý bài toán này, và "người bạn thân thiết khác là Fable" vì đã làm việc chăm chỉ trong lúc mọi người xem bóng đá. Abhishek Saha, một nhà toán học tại Đại học Queen Mary London, chia sẻ với New Scientist rằng đây là "một vấn đề khá lớn." Anh Saha nhận định, đây có lẽ là giả thuyết lớn nhất mà AI đã đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh hoặc bác bỏ cho đến nay trong toán học.
Giả thuyết Jacobian có lịch sử từ năm 1884, khi nhà toán học người Séc Ludwig Kraus đề xuất một phiên bản ban đầu. Đến năm 1939, nhà toán học người Đức Ott-Heinrich Keller đã mở rộng thành dạng hiện tại. Giả thuyết này liên quan đến các hàm đa thức (polynomial functions), mà chúng ta có thể hình dung như những cỗ máy toán học nhận vào một tập hợp số và trả về một tập hợp số mới. Melissa Lee, một nhà toán học tại Đại học Monash ở Úc, giải thích trên The Conversation rằng, nếu bạn đưa vào một tập hợp các số đại diện cho các điểm trong không gian, giống như tọa độ trên bản đồ, thì hàm số sẽ di chuyển các điểm đó đến vị trí mới theo quy tắc của nó.
Để kiểm tra xem một hàm số di chuyển mọi thứ trong không gian "tốt" đến mức nào, chúng ta tính toán một thứ gọi là định thức Jacobian (Jacobian determinant). Nếu định thức Jacobian luôn là một hằng số khác 0, thì hàm số đó sẽ không bao giờ làm "gấp khúc" hay "nghiền nát" không gian xung quanh một điểm cụ thể. Theo giả thuyết, nếu định thức này là một hằng số khác 0, thì luôn có một hàm số khác mà bạn có thể sử dụng để đưa tất cả các điểm trở lại vị trí ban đầu của chúng. Về lý thuyết, việc bác bỏ giả thuyết này sẽ đơn giản bằng cách tìm một hàm phản ví dụ (counterexample) khiến tất cả các điểm hợp nhất và có định thức Jacobian là một hằng số khác 0. Tuy nhiên, trong thực tế, điều này lại khó khăn hơn rất nhiều. Thậm chí, nhà toán học Stephen Smale, người từng đoạt Huy chương Fields (thường được ví như giải Nobel của toán học), đã đưa giả thuyết này vào danh sách 18 bài toán toán học lớn cho thế kỷ 21 vào năm 1998.
Bài đăng trên X của Alpöge đã cung cấp chính xác một hàm số như vậy. Sử dụng Fable, anh đã tìm ra một hàm số ba chiều có định thức Jacobian không đổi nhưng lại làm hợp nhất nhiều điểm đầu vào, khiến nó không thể đảo ngược. Điều này cho thấy giả thuyết Jacobian là sai đối với các không gian có ba chiều trở lên, mặc dù nó vẫn có thể đúng đối với các không gian có số chiều thấp hơn.
Nhiều nhà nghiên cứu bên ngoài mô tả kết quả này là một cột mốc quan trọng cho toán học có sự hỗ trợ của AI. Tuy nhiên, việc tìm ra một phản ví dụ duy nhất không phải là một thành tựu lớn bằng việc chứng minh giả thuyết Jacobian, điều mà chưa ai làm được. Andrew Blumberg, một nhà toán học tại Đại học Columbia, chia sẻ với Mashable rằng điều này chủ yếu cho thấy có "rất nhiều đa thức" mà con người khó có thể kiểm tra một mình.
AI có thể giúp chứng minh các giả thuyết, nhưng ở thời điểm hiện tại, các mô hình này chưa thể cung cấp các hướng dẫn từng bước đáng tin cậy để giải quyết chúng. Theo Fortune, con người có thể phải viết hơn 100 trang để ghi lại một bằng chứng duy nhất. Ông Blumberg ví von vai trò của AI bằng một phép so sánh: "Giả sử Moses xuống núi với những tấm bia đá, và trên đó viết, 'Ung thư có thể chữa khỏi.' Bạn có quan tâm không? Bạn không chỉ muốn câu trả lời cho câu hỏi. Bạn muốn học được điều gì đó từ câu trả lời." Ông nói thêm rằng Smale coi bài toán này quan trọng vì ông tin rằng nếu giải được nó, chúng ta sẽ hiểu nhiều hơn về cách cấu trúc tự nhiên vận hành.
Dù vậy, tiến bộ này vẫn được coi là vượt xa kỳ vọng về việc AI sẽ sớm hữu ích trong nghiên cứu toán học cấp cao. Năm 2025, các mô hình tiên tiến đã có thể giải quyết 5 trên 6 bài toán tại Olympic Toán học Quốc tế. Và vào tháng 5, OpenAI thông báo rằng một mô hình của công ty đã giúp các nhà nghiên cứu giải quyết một bài toán 80 năm tuổi do nhà toán học người Hungary Paul Erdős đặt ra. Sau thông báo đó, nhà nghiên cứu Sébastien Bubeck của OpenAI nói với Wall Street Journal rằng khả năng đột phá đó có vẻ "nực cười" ngay cả "một tháng trước."
Sau khi "bài toán Erdős" được giải quyết nhờ AI, 16 nhà toán học đã công bố Tuyên bố Leiden về Trí tuệ Nhân tạo và Toán học (Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics), được Liên minh Toán học Quốc tế ủng hộ. Tuyên bố này kêu gọi các nhà nghiên cứu công khai việc sử dụng AI của họ, ghi nhận đúng công trình trước đó và công bố kết quả của họ trên các tạp chí được bình duyệt. Nó cũng cảnh báo không nên đưa ra các tuyên bố trước khi cộng đồng toán học có thể đánh giá chúng thông qua các kênh chính thức.
Mặc dù phản ví dụ Jacobian rất thú vị, nhưng sự chuyển dịch sang AI trong toán học thuần túy đang diễn ra "rất nhanh chóng và rất đáng lo ngại... đặc biệt đối với các nhà toán học trẻ," Mathew, người được Alpöge nhắc đến trong bài đăng trên X, chia sẻ với Fortune. Anh nói thêm rằng AI đưa ra "cách làm" mà không giải thích "lý do tại sao." "Người ta có thể kiểm tra xem nó có đúng không, nhưng sẽ tốt hơn nếu có thể kể một câu chuyện."
Nguồn: https://www.smithsonianmag.com/smar...-the-tech-has-played-a-role-in-yet-180989189/
Levent Alpöge, một nhà toán học làm việc tại công ty AI Anthropic và Đại học Harvard, đã sử dụng Claude Fable 5 của Anthropic để tiếp cận một giả thuyết toán học. Giả thuyết là một ý tưởng mà các nhà toán học tin là đúng nhưng chưa được chứng minh hay bác bỏ. Sau khi AI tìm ra lời giải, anh Alpöge đã đăng bằng chứng bác bỏ này lên mạng xã hội X (trước đây là Twitter), và nó nhanh chóng được nhiều nhà toán học độc lập xác minh.
Giả thuyết Jacobian có lịch sử từ năm 1884, khi nhà toán học người Séc Ludwig Kraus đề xuất một phiên bản ban đầu. Đến năm 1939, nhà toán học người Đức Ott-Heinrich Keller đã mở rộng thành dạng hiện tại. Giả thuyết này liên quan đến các hàm đa thức (polynomial functions), mà chúng ta có thể hình dung như những cỗ máy toán học nhận vào một tập hợp số và trả về một tập hợp số mới. Melissa Lee, một nhà toán học tại Đại học Monash ở Úc, giải thích trên The Conversation rằng, nếu bạn đưa vào một tập hợp các số đại diện cho các điểm trong không gian, giống như tọa độ trên bản đồ, thì hàm số sẽ di chuyển các điểm đó đến vị trí mới theo quy tắc của nó.
Để kiểm tra xem một hàm số di chuyển mọi thứ trong không gian "tốt" đến mức nào, chúng ta tính toán một thứ gọi là định thức Jacobian (Jacobian determinant). Nếu định thức Jacobian luôn là một hằng số khác 0, thì hàm số đó sẽ không bao giờ làm "gấp khúc" hay "nghiền nát" không gian xung quanh một điểm cụ thể. Theo giả thuyết, nếu định thức này là một hằng số khác 0, thì luôn có một hàm số khác mà bạn có thể sử dụng để đưa tất cả các điểm trở lại vị trí ban đầu của chúng. Về lý thuyết, việc bác bỏ giả thuyết này sẽ đơn giản bằng cách tìm một hàm phản ví dụ (counterexample) khiến tất cả các điểm hợp nhất và có định thức Jacobian là một hằng số khác 0. Tuy nhiên, trong thực tế, điều này lại khó khăn hơn rất nhiều. Thậm chí, nhà toán học Stephen Smale, người từng đoạt Huy chương Fields (thường được ví như giải Nobel của toán học), đã đưa giả thuyết này vào danh sách 18 bài toán toán học lớn cho thế kỷ 21 vào năm 1998.
Bài đăng trên X của Alpöge đã cung cấp chính xác một hàm số như vậy. Sử dụng Fable, anh đã tìm ra một hàm số ba chiều có định thức Jacobian không đổi nhưng lại làm hợp nhất nhiều điểm đầu vào, khiến nó không thể đảo ngược. Điều này cho thấy giả thuyết Jacobian là sai đối với các không gian có ba chiều trở lên, mặc dù nó vẫn có thể đúng đối với các không gian có số chiều thấp hơn.
Nhiều nhà nghiên cứu bên ngoài mô tả kết quả này là một cột mốc quan trọng cho toán học có sự hỗ trợ của AI. Tuy nhiên, việc tìm ra một phản ví dụ duy nhất không phải là một thành tựu lớn bằng việc chứng minh giả thuyết Jacobian, điều mà chưa ai làm được. Andrew Blumberg, một nhà toán học tại Đại học Columbia, chia sẻ với Mashable rằng điều này chủ yếu cho thấy có "rất nhiều đa thức" mà con người khó có thể kiểm tra một mình.
AI có thể giúp chứng minh các giả thuyết, nhưng ở thời điểm hiện tại, các mô hình này chưa thể cung cấp các hướng dẫn từng bước đáng tin cậy để giải quyết chúng. Theo Fortune, con người có thể phải viết hơn 100 trang để ghi lại một bằng chứng duy nhất. Ông Blumberg ví von vai trò của AI bằng một phép so sánh: "Giả sử Moses xuống núi với những tấm bia đá, và trên đó viết, 'Ung thư có thể chữa khỏi.' Bạn có quan tâm không? Bạn không chỉ muốn câu trả lời cho câu hỏi. Bạn muốn học được điều gì đó từ câu trả lời." Ông nói thêm rằng Smale coi bài toán này quan trọng vì ông tin rằng nếu giải được nó, chúng ta sẽ hiểu nhiều hơn về cách cấu trúc tự nhiên vận hành.
Dù vậy, tiến bộ này vẫn được coi là vượt xa kỳ vọng về việc AI sẽ sớm hữu ích trong nghiên cứu toán học cấp cao. Năm 2025, các mô hình tiên tiến đã có thể giải quyết 5 trên 6 bài toán tại Olympic Toán học Quốc tế. Và vào tháng 5, OpenAI thông báo rằng một mô hình của công ty đã giúp các nhà nghiên cứu giải quyết một bài toán 80 năm tuổi do nhà toán học người Hungary Paul Erdős đặt ra. Sau thông báo đó, nhà nghiên cứu Sébastien Bubeck của OpenAI nói với Wall Street Journal rằng khả năng đột phá đó có vẻ "nực cười" ngay cả "một tháng trước."
Sau khi "bài toán Erdős" được giải quyết nhờ AI, 16 nhà toán học đã công bố Tuyên bố Leiden về Trí tuệ Nhân tạo và Toán học (Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics), được Liên minh Toán học Quốc tế ủng hộ. Tuyên bố này kêu gọi các nhà nghiên cứu công khai việc sử dụng AI của họ, ghi nhận đúng công trình trước đó và công bố kết quả của họ trên các tạp chí được bình duyệt. Nó cũng cảnh báo không nên đưa ra các tuyên bố trước khi cộng đồng toán học có thể đánh giá chúng thông qua các kênh chính thức.
Mặc dù phản ví dụ Jacobian rất thú vị, nhưng sự chuyển dịch sang AI trong toán học thuần túy đang diễn ra "rất nhanh chóng và rất đáng lo ngại... đặc biệt đối với các nhà toán học trẻ," Mathew, người được Alpöge nhắc đến trong bài đăng trên X, chia sẻ với Fortune. Anh nói thêm rằng AI đưa ra "cách làm" mà không giải thích "lý do tại sao." "Người ta có thể kiểm tra xem nó có đúng không, nhưng sẽ tốt hơn nếu có thể kể một câu chuyện."
Nguồn: https://www.smithsonianmag.com/smar...-the-tech-has-played-a-role-in-yet-180989189/
