Bùi Minh Nhật
Intern Writer
Toán học cho biết ống hút chỉ có một lỗ.
Có một số câu hỏi dường như gợi lên câu trả lời với những người ủng hộ rất cứng đầu ở mỗi bên. Cho dù bạn đang trò chuyện bên ly đồ uống hay tranh luận trên diễn đàn Reddit, những câu hỏi này dường như khơi dậy ngọn lửa tranh luận trong mỗi người.
Cái nào có trước, con gà hay quả trứng? Ngựa vằn có màu đen hay trắng? Ống hút có bao nhiêu lỗ?
Câu trả lời cho câu hỏi cuối cùng này dễ nghĩ hơn những câu hỏi khác, nhưng chúng ta cần nhờ đến toán học để làm rõ vấn đề.
Cuộc tranh luận về ống hút
Vậy thì… một ống hút có bao nhiêu lỗ? Câu hỏi này có vẻ khó hiểu với một số người, trong khi câu trả lời có vẻ hiển nhiên với những người khác. Ngay cả khi câu trả lời có vẻ hiển nhiên, chúng ta vẫn cần phải đi đến đó một cách khoa học.
Có một hay hai lỗ trên một ống hút? Có những người nhiệt tình bảo vệ cả hai câu trả lời. Một số người thậm chí còn nói rằng một ống hút có vô số lỗ. Những người khác thậm chí còn đi xa hơn khi tuyên bố rằng một ống hút không có lỗ nào.
Nhóm zero hole có thể lập luận rằng ống hút chỉ đơn giản là một mặt phẳng cong. Vì mặt phẳng không có lỗ nào, và bạn có thể ghép các cạnh lại với nhau để tạo thành ống hút, nên ống hút không có lỗ. Tuy nhiên, bằng cách ghép các cạnh lại với nhau, bạn đang tạo ra một lỗ, vì vậy lập luận đó không đứng vững, trừ khi bạn đang đặt câu hỏi về sự tồn tại của chính các lỗ.
Nếu bạn cuộn một tờ giấy lại, rõ ràng là bạn đang tạo ra một lỗ thủng.
Giả sử bạn tin vào lỗ hổng, thì những biến thể khác trong cách đếm lỗ hổng chủ yếu có thể bắt nguồn từ những điều cơ bản của lập luận này—cách người ta định nghĩa một lỗ hổng.
Khi chúng ta nói về lỗ, chúng ta có thể nói về thứ gì đó có thể được lấp đầy hoặc thứ gì đó mà thứ khác có thể đi qua. Chúng ta có lỗ mù - một lỗ trên mặt đất hoặc lỗ trên bình - và lỗ xuyên qua. Về mặt tôpô, khi chúng ta nói về lỗ, chúng ta chỉ xem xét loại thứ hai.
Bạn có thể nói rằng một chiếc cốc có một lỗ, chúng ta đổ đầy cà phê hoặc bất kỳ chất lỏng nào khác vào. Tuy nhiên, nếu chúng ta làm phẳng chiếc cốc, cuối cùng nó sẽ trở thành một chiếc đĩa. Chúng ta đều có thể đồng ý rằng một chiếc đĩa không bị hư hại thì không có lỗ. Do đó, nếu một chiếc cốc có một lỗ, chúng ta sẽ phải xác định một điểm nào đó trong quá trình làm phẳng khi lỗ không còn tồn tại nữa.
Về mặt cấu trúc, một chiếc cốc không có lỗ.
Định nghĩa về mặt tôpô của lỗ là nó là một cấu trúc ngăn không cho vật thể bị co lại thành một điểm.
Nếu chúng ta lấy một hình tròn và thu nhỏ nó lại, nó sẽ không bao giờ trở thành một điểm. Không gian bên trong ranh giới ngăn cản nó làm như vậy. Do đó, một hình tròn có một lỗ.
Tương tự như vậy, một chiếc bánh rán sẽ có một lỗ. Một hình xuyến rỗng, giống như một chiếc bánh rán rỗng, sẽ có hai lỗ. Cả khoảng không rỗng ở giữa hình xuyến và khoảng không bên trong hình xuyến đều ngăn không cho nó bị thu hẹp lại thành một điểm duy nhất.
Một hình xuyến.
Chúng ta hãy cùng xem xét cuộc tranh luận về “số lượng lỗ” trong khi vẫn tuân theo định nghĩa tôpô này.
Chất lỏng đi vào qua một lỗ, và đi ra qua một lỗ khác. Hai lỗ = hai lỗ?
Đi theo định nghĩa tôpô của một lỗ, lập luận này là không hợp lệ, vì nó coi một lỗ mở là một lỗ. Số lượng lỗ mở không xác định số lượng lỗ.
Chúng ta đã xác định rằng không gian rỗng bên trong hình xuyến là một lỗ, mặc dù nó không có lỗ mở. Lỗ là không gian được bao bọc trong ranh giới, không phải là ranh giới đó.
Chúng ta cũng đã nói rằng về mặt tôpô, một chiếc cốc hoặc một chiếc cốc không có lỗ. Để đi theo suy nghĩ rằng một ống hút có hai lỗ, chúng ta cần phải phủ định điều này. Nếu một ống hút có hai lỗ, thì một chiếc cốc có một lỗ.
Không phải là hai vòng tròn ở mỗi đầu ống hút mà là cùng một vòng tròn!
Để hình dung điều này, hãy tưởng tượng việc nén chặt ống hút. Chiều dài của nó sẽ co lại cho đến khi, tại một thời điểm nào đó, nó trông giống một chiếc nhẫn hoặc một vòng đệm hơn. Tại thời điểm này, rõ ràng là nó chỉ có một lỗ. Nếu nó có nhiều hơn một lỗ, sẽ phải có một điểm không thể diễn tả được mà lỗ còn lại biến mất, điều này có vẻ không thể xảy ra.
Vòng đệm này có bao nhiêu lỗ?
Hãy nhìn nhận vấn đề theo một cách khác. Theo nhà toán học Bernhard Riemann, số lỗ bằng số lần một vật thể có thể được cắt mà không tạo ra hai mảnh riêng biệt. Đối với hình xuyến, bạn có thể cắt nó hai lần mà nó vẫn là một mảnh duy nhất. Đối với hình tròn hoặc hình nhẫn, bạn chỉ có thể cắt một lần dọc theo ranh giới mà không gây ra sự tách biệt.
Tương tự như vậy, đối với ống hút, bạn có thể cắt một đường dọc theo chiều dài của nó. Bất kỳ đường cắt nào khác sẽ tách nó ra. Do đó, ống hút có một lỗ duy nhất.
Dựa trên những ý tưởng này, các nhà tôpô học hiện sử dụng số Betti , do Henri Poincaré giới thiệu, để xác định số lỗ. Tất cả các câu trả lời đều dựa trên một kết quả—một ống hút có đúng một lỗ.
Có một số câu hỏi dường như gợi lên câu trả lời với những người ủng hộ rất cứng đầu ở mỗi bên. Cho dù bạn đang trò chuyện bên ly đồ uống hay tranh luận trên diễn đàn Reddit, những câu hỏi này dường như khơi dậy ngọn lửa tranh luận trong mỗi người.
Cái nào có trước, con gà hay quả trứng? Ngựa vằn có màu đen hay trắng? Ống hút có bao nhiêu lỗ?
Câu trả lời cho câu hỏi cuối cùng này dễ nghĩ hơn những câu hỏi khác, nhưng chúng ta cần nhờ đến toán học để làm rõ vấn đề.
Cuộc tranh luận về ống hút
Vậy thì… một ống hút có bao nhiêu lỗ? Câu hỏi này có vẻ khó hiểu với một số người, trong khi câu trả lời có vẻ hiển nhiên với những người khác. Ngay cả khi câu trả lời có vẻ hiển nhiên, chúng ta vẫn cần phải đi đến đó một cách khoa học.
Có một hay hai lỗ trên một ống hút? Có những người nhiệt tình bảo vệ cả hai câu trả lời. Một số người thậm chí còn nói rằng một ống hút có vô số lỗ. Những người khác thậm chí còn đi xa hơn khi tuyên bố rằng một ống hút không có lỗ nào.
Nhóm zero hole có thể lập luận rằng ống hút chỉ đơn giản là một mặt phẳng cong. Vì mặt phẳng không có lỗ nào, và bạn có thể ghép các cạnh lại với nhau để tạo thành ống hút, nên ống hút không có lỗ. Tuy nhiên, bằng cách ghép các cạnh lại với nhau, bạn đang tạo ra một lỗ, vì vậy lập luận đó không đứng vững, trừ khi bạn đang đặt câu hỏi về sự tồn tại của chính các lỗ.
Nếu bạn cuộn một tờ giấy lại, rõ ràng là bạn đang tạo ra một lỗ thủng.
Giả sử bạn tin vào lỗ hổng, thì những biến thể khác trong cách đếm lỗ hổng chủ yếu có thể bắt nguồn từ những điều cơ bản của lập luận này—cách người ta định nghĩa một lỗ hổng.
Lỗ là gì?
Bản thân việc định nghĩa một lỗ hổng là một cuộc tranh luận sôi nổi khác. Có những câu hỏi về việc liệu một lỗ hổng có phải là sự hiện diện hay sự vắng mặt, hoặc liệu chúng có phải là những thứ có thể được định nghĩa về mặt vật lý hay không. Tuy nhiên, hôm nay chúng ta sẽ không đi sâu vào vấn đề đó.Khi chúng ta nói về lỗ, chúng ta có thể nói về thứ gì đó có thể được lấp đầy hoặc thứ gì đó mà thứ khác có thể đi qua. Chúng ta có lỗ mù - một lỗ trên mặt đất hoặc lỗ trên bình - và lỗ xuyên qua. Về mặt tôpô, khi chúng ta nói về lỗ, chúng ta chỉ xem xét loại thứ hai.
Bạn có thể nói rằng một chiếc cốc có một lỗ, chúng ta đổ đầy cà phê hoặc bất kỳ chất lỏng nào khác vào. Tuy nhiên, nếu chúng ta làm phẳng chiếc cốc, cuối cùng nó sẽ trở thành một chiếc đĩa. Chúng ta đều có thể đồng ý rằng một chiếc đĩa không bị hư hại thì không có lỗ. Do đó, nếu một chiếc cốc có một lỗ, chúng ta sẽ phải xác định một điểm nào đó trong quá trình làm phẳng khi lỗ không còn tồn tại nữa.
Về mặt cấu trúc, một chiếc cốc không có lỗ.
Định nghĩa về mặt tôpô của lỗ là nó là một cấu trúc ngăn không cho vật thể bị co lại thành một điểm.
Nếu chúng ta lấy một hình tròn và thu nhỏ nó lại, nó sẽ không bao giờ trở thành một điểm. Không gian bên trong ranh giới ngăn cản nó làm như vậy. Do đó, một hình tròn có một lỗ.
Tương tự như vậy, một chiếc bánh rán sẽ có một lỗ. Một hình xuyến rỗng, giống như một chiếc bánh rán rỗng, sẽ có hai lỗ. Cả khoảng không rỗng ở giữa hình xuyến và khoảng không bên trong hình xuyến đều ngăn không cho nó bị thu hẹp lại thành một điểm duy nhất.
Một hình xuyến.
Chúng ta hãy cùng xem xét cuộc tranh luận về “số lượng lỗ” trong khi vẫn tuân theo định nghĩa tôpô này.
Đếm lỗ
Chúng ta đã xác định rằng một vòng tròn có một lỗ. Từ đây, chúng ta có thể thấy trại một lỗ và trại hai lỗ.Ống hút có hai lỗ không?
Đây là lập luận cho rằng ống hút có hai lỗ. Ống hút là một hình trụ, trong đó có thể vẽ hai vòng tròn ở mỗi đầu. Hai lỗ mở = hai vòng tròn = hai lỗ. Một lỗ để đưa vật vào, và một lỗ khác để đưa vật ra.
Chất lỏng đi vào qua một lỗ, và đi ra qua một lỗ khác. Hai lỗ = hai lỗ?
Đi theo định nghĩa tôpô của một lỗ, lập luận này là không hợp lệ, vì nó coi một lỗ mở là một lỗ. Số lượng lỗ mở không xác định số lượng lỗ.
Chúng ta đã xác định rằng không gian rỗng bên trong hình xuyến là một lỗ, mặc dù nó không có lỗ mở. Lỗ là không gian được bao bọc trong ranh giới, không phải là ranh giới đó.
Chúng ta cũng đã nói rằng về mặt tôpô, một chiếc cốc hoặc một chiếc cốc không có lỗ. Để đi theo suy nghĩ rằng một ống hút có hai lỗ, chúng ta cần phải phủ định điều này. Nếu một ống hút có hai lỗ, thì một chiếc cốc có một lỗ.
Ống hút chỉ có một lỗ phải không?
Về mặt tôpô, một ống hút là tích của một vòng tròn đơn vị và một khoảng. Khoảng là độ dài của ống hút. Vòng tròn có một lỗ, và khoảng không có lỗ nào. Do đó, một ống hút có một lỗ duy nhất.Không phải là hai vòng tròn ở mỗi đầu ống hút mà là cùng một vòng tròn!
Để hình dung điều này, hãy tưởng tượng việc nén chặt ống hút. Chiều dài của nó sẽ co lại cho đến khi, tại một thời điểm nào đó, nó trông giống một chiếc nhẫn hoặc một vòng đệm hơn. Tại thời điểm này, rõ ràng là nó chỉ có một lỗ. Nếu nó có nhiều hơn một lỗ, sẽ phải có một điểm không thể diễn tả được mà lỗ còn lại biến mất, điều này có vẻ không thể xảy ra.
Vòng đệm này có bao nhiêu lỗ?
Hãy nhìn nhận vấn đề theo một cách khác. Theo nhà toán học Bernhard Riemann, số lỗ bằng số lần một vật thể có thể được cắt mà không tạo ra hai mảnh riêng biệt. Đối với hình xuyến, bạn có thể cắt nó hai lần mà nó vẫn là một mảnh duy nhất. Đối với hình tròn hoặc hình nhẫn, bạn chỉ có thể cắt một lần dọc theo ranh giới mà không gây ra sự tách biệt.
Tương tự như vậy, đối với ống hút, bạn có thể cắt một đường dọc theo chiều dài của nó. Bất kỳ đường cắt nào khác sẽ tách nó ra. Do đó, ống hút có một lỗ duy nhất.
Dựa trên những ý tưởng này, các nhà tôpô học hiện sử dụng số Betti , do Henri Poincaré giới thiệu, để xác định số lỗ. Tất cả các câu trả lời đều dựa trên một kết quả—một ống hút có đúng một lỗ.
